黄波波

摘要：2016年常州市中考数学第18题是一道典型的求面积最值问题，本题考查等边三角形、全等三角形、平行四边形、直角三角形、图形面积计算等相关知识，在解题的过程中可能用到配方法、数形结合思想、转化思想等.对本题的研究有利于引导学生夯实基础知识、体会数学思想、挖掘数学本质.

关键词：图形;面积;转化思想

1 题目呈现

如图l，AAPB中，AB =2，∠APB= 90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE，正△BCP，则四边形PCDE面积的最大值是____。

2 解题思路分析

2.1 证明四边形PCDE是平行四边形

正三角形的三个内角都是60°，三条边都相等.由∠DAB=∠EAP= 60°，可得∠BAP=∠DAE.又有AB=AD，AP= AE，所以△ABP≌△ADE，从而得到BP=DE.而BP= CP，所以CP= DE.同理可得EP= DC.所以四边形PCDE是平行四边形.

2.2 表示出平行四边形PCDE的面积

设PE =a，PC =b.要求平行四边形的面积，需要知道平行四边形的底和高，如果将PE作为底，可以过点C或者过点D作出PE边上的高（如图2或图3）.易得∠CPE =360° - ∠APB - ∠APE - ∠BPC= 150°.在图2中，∠CFP= 90°，∠CPF= 180° - ∠CPE =30°，则CF=1/2PC=1/2b;在图3中，∠DFE= 90°，易得∠DEF= 180°一∠CPE =30°，则DF= 1/2DE =1/2PC = 1/2b.因此，平行四邊形PCDE的面积可以表示1/2ab.

当然，也可以将CP作为底，过点D或者过点E作出CP边上的高，易得高为1/2a，平行四边形PCDE的面积可以表示为1/2ab.

2.3 求1/2ab的最大值

方法3 1/2ab可以表示RtAAPB的面积，因此此题转化为求AAPB的面积的最大值.

因为AB =2，若将AB作为底，就要求出AB边上的高的最大值.△APB是直角三角形，容易想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，因此作出AB边上的中线PG（如图4），PG =AG =BG= 1/2AB=1，点P可视为以AB为直径的圆上的一点，显然当PGIAB时，AAPB的AB边上的高取得最大值1.所以△APB的面积的最大值是1/2×2 xl =1.即1/2ab的最大值是1.

综上，四边形PCDE面积的最大值是1.

3 解题反思

3.1 重视基础知识

解这道题……