张彩云 代 钦

(内蒙古师范大学科学技术史研究院 010022)

1 引言

民国时期是我国数学教育发展的一个非常重要的时期，是中国数学教育走向现代化的重要过渡阶段.中学几何作图教科书经历了清末以翻译为主、自编为辅的蹒跚起步后到民国时期基本上实现了自编为主的蓬勃发展.清末，伴随着新学制的呱呱坠地和科举制的寿终正寝，现代数学进入中国的学堂，现代意义下的数学教育也在西方思想文化、科学技术的广泛传播和新知识分子群体的崛起之下滥觞.从此，各种形式学校犹如雨后春笋般遍及中华大地，教育经历着从传统向现代化的脱变，到民国时期基本成型.无论是教育理念、教育思想方法还是课程标准、教学大纲，甚至具体到教科书内容、教学方式都有了一定的雏形.几何作图是几何学必不可少的内容之一，在这一时期有专门的几何作图教科书，如黄元吉编撰的《共和国教科书中学校用用器画解说》、《共和国教科书中学用器画图式》(商务印书馆,1913)，冯騑编撰的《应用用器画教科书几何画》(商务印书馆,1924)和朱铣、徐刚合编的《平面几何画法》、《立体投影画法》、《简易透视画法》(开明书店)等.这些教科书年代久远，损毁严重，搜集不易，是遗存下来的有关数学教育的活化石，它们的存在再现了当时数学教育的一些概貌，蕴藏在背后的教育价值不容忽视，其文化内涵丰富，是我们研究当时数学教育最基本的素材，也是最重要的文献.

2 民国时期课程标准对几何作图的规定

作图是几何教育的根基，亦是数学教育不可或缺的部分.自清末从日本引进学制后，我国亦借助日本这个窗口学习西方的科学文化知识，包括创办新式学校，翻译、编撰教科书等.“因为新学堂是适应洋务运动需要的产物，当时在重视学习西洋科学、重实用的富国强兵之工具主义教育思想指导下，将用器画看得是很重的，是必修的.其影响范围很广.直至50年代初期我国高等师范学校的美术系仍称图画制图系.”“用器画”指依几何之理使用制图仪器作图，清末从日本引进直至民国结束一直是美术课程除“自在画”以外的重要内容，包括平面几何画、立体几何画等.“但此时的图画课不具备美术的基本性质，实际上是几何作图课”.如下将“用器画”、“机械画”、“几何画”、“投影画”、“透视画”等统称为“几何作图”.这种情况一直持续到民国末期，是当时举国上下“教育救国，发展实业”的一个写照，对美术教育的价值而言是不妥的，但对数学教育却存在着不可估量的促进作用.几何作图在此时数学教育中的重视程度可以从民国时期历次数学课标中对几何作图教学的要求来衡量.这一时期，教育部先后于1912年、1913年、1923年、1929年、1932年、1936年、1941年、1948年分别进行了8次中学数学课程标准的修订(以下简称课标).每一次课标的制定和修订都是教育史上的大事件，它关乎教育的目标和价值，是一切教学活动的指南.民国时期历次中学数学课标中对几何作图教学的相关要求如下：

表1 民国时期中学“数学课标”中关于几何作图的教学要求

表1 民国时期中学“数学课标”中关于几何作图的教学要求

序号时间名称目标教材大纲实施方法11912中学校令施行规则无具体规定无具体规定无具体规定21913中学校课程标准无具体规定无具体规定无具体规定31923初级中学算学课程纲要无具体规定作图无具体规定高级中学第二组必修的几何课程纲要几何之基本图点,线,角,圆等作图法;对称图,位似图本纲要平面部丛率及变图法为学者深造之预备41929初级中学算学暂行课程标准无具体规定几何图形,轨迹,作图法;相似形,图的比例线等注重几何问题的研究,适宜的引用分析法,使学生逐步探讨,并充分指示定理的引用和作图的方法高级中学普通科算学暂行课程标准充分介绍形数的基本观念几何之基本图,轨迹,作图法;相似图,位似图等应注重轨迹与作图法二部,因此于推理证题之外,尚可发展学生探求发明的能力;几何图形可用来求数,应特别注意,使学生融会贯通;作业要求:几何作图题,要用器画好,力求整洁51932初级中学算学课程标准训练学生作图之技能,养成作图美洁精密之习惯基本图形之主要性质;基本轨迹;基本作图题之证明应使学生自动作图度量;轨迹及作图题只可仅授大要;圆及以后各部分,只宜择要教授,其定理及轨迹作图之较难者,应待至高中时讲解高级中学算学课程标准继续训练学生作图之技能,使益为丰富敏捷图形之基本性质;轨迹与作图;基本轨迹及其应用;基本作图题训练学生自动探求之能力;注意轨迹及作图题二部分,发展学生探求发明之能力;立体几何务使学生能透视平面上之图形;与图画科中之用器画相联络61936初级中学算学课程标准训练学生作图之技能,养成作图美洁精密之习惯平面、空间几何图形,度量;基本作图题及图解法教授实验几何,应使学生自动作图度量.轨迹及作图题只可仅授大要;圆及以后各部分,只宜择要教授,其定理及轨迹作图之较难者,应待至高中时讲解高级中学算学课程标准继续训练学生作图之技能,使其益为丰富敏捷平面几何轨迹之分析与证明;基本轨迹及其应用;基本作图与基本作图题遇相当机会应酌添授几何画及投影画(与图画科联络)等;注意轨迹及作图题二部分,发展学生探求发明之能力;几何证题及作图,尽量采用代数方法;使学生能透视平面上之图形,与图画科中之用器画相联络;综合法作图之范围,非解析莫能决,如有充分时间,宜略示作图不能之意义71941修正初级中学数学课程标准训练学生作图之技能,养成计算准确迅速,作图精密整洁之习惯平面几何图形;基本作图题;三角形作图题及图解法;空间几何图形;基本作图法;轨迹;作图之方法使学生知定理及作图解决问题;养成作图精确、写式整洁、立论有本诸习惯;轨迹与作图仅授大意修正高级中学数学课程标准继续训练学生作图之技能,使其益为丰富敏捷平面几何轨迹之分析与证明;基本轨迹及其应用;基本作图与基本作图题;作图法;使学生对于几何基础、定理证明法、求轨迹法及作图法有透彻之了解;使学生能将空间图形表示清楚;注重轨迹及作图,发展学生探讨之能力

续表

如上表所示，“作图”在1923年课标的教材大纲中首次出现.因为1912年和1913年的《中学校令施行规则》没有单独制定中学数学课标，所以更谈不上几何作图教育方面的具体规定，但这不能排除教材中有几何作图的内容，因为清末至民国初期，这些教育文件只规定学哪些科目而不规定具体学习内容.此外，1948年的数学课标虽然制定了，但因为种种原因并未实施.下面针对几何作图在课标中的目标、教材大纲、实施方法3个维度的规定进行具体分析：

(1)纵览课标的目标不难发现，关于几何作图的要求在课标修订中都注重初、高中作图技能训练的连贯性和层次性.如在初中阶段出现的要求是“训练…”、“养成作图美洁精密之习惯”，相应的高中阶段即为“继续训练…”、“使其益为丰富敏捷”.几何作图贯穿于中学几何所有的内容，从平面几何到立体几何，从基本作图题到证明题，目标中这样的规定充分考虑了初、高中数学知识的自然衔接，对于教学而言是大有裨益的.此外，关于几何作图的要求在目标中出现的关键词有“美(整)洁、精密、丰富、敏捷、纯熟、准确”，体现了目标中对几何作图既有“形”又有“质”的潜在要求，即美观精密到纯熟准确，不但在视觉上达到图形美观、干净整洁、丰富多彩，而且在理论上强调思维敏捷、构图准确、技术熟练.

(2)从教材大纲看，对初、高中几何作图的要求逐渐深入.对课标的教材大纲进行比较发现，初级中学的教材选取主要针对基本的平面几何图形的基本性质、基本轨迹和基本作图法等，而高级中学则集中于相对复杂的平面几何图形、轨迹的性质及其对它们的应用、分析与证明和空间几何图形的性质，作图法等.初、高中内容的设计、取材在难度上和知识点的关联性方面不但有弹性而且呈螺旋上升趋势.

(3)对于实施方法，可以总结为如下几点：一是强调给学生提供探索的空间.如在课标的实施方法中有“使学生自动作图度量”、“训练学生自动探求发明之能力”等关于几何作图的条目；二是强调培养学生对知识之间联系的掌握及综合应用.如在课标的实施方法中明确规定：“在教授图形相关性质时与图画科联络或宜与用器画取得联系”、“多采融合精神，注意形与数之联络，代数中多用图形表示，几何中多用代数证明”、“几何图形可用来求数，应特别注意，使学生融会贯通”等；三是强调学生的学习过程，注重循序渐进.如“几何问题的研究，适宜的引用分析法，使学生逐步探讨，并充分指示定理的引用和作图的方法”、“圆及以后各部分，只宜择要教授，其定理及轨迹作图之较难者，应待至高中时讲解”.

此外，对于几何作图最低毕业限度的要求，只有在1929年的初级中学算学暂行课程标准中有“对于普通几何定理和作图，要会用分析法找出证明和作图方法.”和高级中学算学暂行课程标准中有“能熟悉普通几何定理，证明普通几何定理，能做普通几何图形”的具体要求.出现这种格外重视几何作图的现象与1929年开始实施实验几何课程不无关系.

综上，几何作图在民国时期历次中学数学课标中是必不可少的内容，与几何、代数相辅相成，强调数形结合，作图与几何证明、代数解析等方法的融会贯通，注重通过几何作图的训练来掌握几何事理和探究代数问题，养成“立论有本”的科学的、实事求是的学习习惯.几何作图不仅是几何教育的根基，亦是数学教育重要的方法、手段和途径.

3 民国时期出版的中学几何作图教科书

3.1 几何作图教科书出版概况

民国时期，中学几何作图教科书的编撰已从清末最初的引进、吸收过渡到了融合、创新的阶段.中学几何作图教科书在出版时间上呈现阶段性，编辑背景已由清末的翻译、编译国外教科书转变为国人自编为主，出版企业、作者群及作者职业背景等方面呈现出多样性等特点，中学几何作图教科书的内容编排形成了一定的体例和格式.民国时期出版和使用的中学几何作图教科书概览，见表2：

表2 中学几何作图教科书目录

序号书名著译者出版者年份备注23用器画法立体几何之部薛德炯上海新亚书店1934编译立体几何之部图式薛德炯上海新亚书店1933编译24用器画平面之部文法初北平华北科学社193425立体投影画法朱铣、徐刚开明书店19351949年修订26平面几何画法王品端上海商务印书馆19371950年14版27投影画法王品端上海商务印书馆19391950年13版28简易透视画法朱铣、徐刚开明书店19421951年5版29山西省立第一中学校英文几何画Wu Gunwen山西省立第一中学民国线装手抄复印本

从上表分析可见民国时期中学几何作图教科书从出版时间来看，有两个高峰，分别是1912-1920年和1930-1939年；从编辑背景看，以国人自编为主.29种中学几何作图教科书中，有27种为国人自编，2种编译自外国；从出版企业看，共15家.依次为：商务印书馆8种，中华书局2种，上海新亚书店2种，集成书社2种，北京武学书局、北京印刷局、平民书局、上海世界书局、暨南大学出版社、开明书店、直隶书局、长沙启明印刷局、北平华北科学社、山西省立第一中学各1种；从作者群来看，主要有孙钺2种，黄元吉1种，王雅南2种，王品端2种，薛德炯编译2种，何炳麟3种，除朱铣、徐刚合著一种，其余著者都为一种.这些著、译者有的是数学教育名家，如何炳麟；有的是有留学背景的教师，如孙钺；有的编著过多本教科书如：黄元吉、王品端、朱铣、徐刚、求是学社、王济仁等.

3.2 民国时期中学几何作图教科书举例

由于民国时期出版的中学几何作图教科书较多，在这里不能一一介绍，故选择代表性的几何作图教科书按出版时间先后顺序作初步介绍和分析.

(1)民国初期的中学几何作图教科书

黄元吉编撰的《共和国教科书中学校用用器画解说》和《共和国教科书中学用器画图式》是《共和国教科书》中的一种(以下简称《共和国用器画》).《共和国用器画》共两册(书影见图1、图2)，均由吴江[注]吴江：今江苏吴江.、黄元吉[注]黄元吉，字肇成，江苏吴江松陵人，清末贡生，曾在上海商务印书馆担任编译工作.编撰，绍兴寿孝天、骆师曾校订，商务印书馆于1913年10月出版发行，1934年9月国难后第二版发行.上册为《解说》，即讲授几何作图的理法，大小类似于现在32开本，帆布封皮后为封面及广告页，纸张结实，线装本，朴素耐用；下册为《图式》，即例图，与解说中的例题一一对应，便于学习者临摹.内容简介：

图1 解说封面 图2 图式封面

第一编平面几何画法 第一章总说；第二章点、直线、角，练习题一；第三章尺度，练习题二；第四章圆，练习题三；第五章多角形，练习题四；第六章曲线，练习题五

第二编投影画法 第一章总说，第二章点、线，练习题六；第三章平面、平面形，练习题七；第四章简易立体，练习题八；第五章投影面位置之变更，练习题九；第六章立体之截分、立体表面之展开，练习题十；第七章立体之交切形、螺旋，练习题十一；第八章阴影，练习题十二；第九章均角投影，练习题十三

(2)民国中期的中学几何作图教科书

由冯騑编撰，商务印书馆印行的《应用用器画教科书几何画》于1924年8月初版，1927年12月再版，到1935年3月仍有再版.长宽略大于今天的16开本，左侧线装(书影见图3).此书从1924年初版至1935年，历经11年后仍有再版，说明其在一定程度上是得到学习者认可的.值得一提的是，舒新城在其孩子升初中时将其作为礼物赠送，在封面上签署祝词“囡：升初中以资鼓励”，并附有自己姓名的印章(见图4)，可见其对此书的认可和对几何作图的重视.内容简介：

图3 封面

第一章画具及其用法，第二章应用画具之练习，第三章点、线、面，第四章圆，第五章多边形，第六章曲线

图4 封二上舒新城的祝词

(3)民国中后期的中学几何作图教科书

由台湾开明书店印行，朱铣、徐刚合编的《平面几何画法》、《立体投影画法》和《简易透视画法》是一套内容层次鲜明的几何作图教科书(书影见图5).其中《平面几何画法》于1933年初版，1949年8版；《立体投影画法》于1935年初版，1949年修订；《简易透视画法》于1942年初版，1951年5版.在1933年到1949年间亦有13种几何作图教科书出版发行，除商务印书馆出版的几何作图教科书外，较有代表性且受欢迎的便是此套教科书，从编排形式到内容结构均具特色，此书在建国后相当长的一段时间里一直被使用.内容简介：

图5 朱铣、徐刚合编几何作图教科书

平面几何画法几何学的基础概念，制图的用具，制图的顺序和注意点，制图线的种类及轮廓，关于直线的图法，关于平面形的图法，关于圆的图法，关于接触形的图法，关于面积的图法，关于曲线的图法，参考图和应用图，附录(用语对照表)

立体投影画法总说，点的投影，直线的投影，平面形的投影，立体的投影，开展图，截断图，相贯体，等角投影图，参考图和应用图，附录(用语对照表)

简易透视画法平行透视 绪论，点的透视，直线的透视，平面形的透视，立体的透视；成角透视 绪论，平面形及立体的透视，参考图及应用图，附录(用语对照表、习题解答)

3.3 民国时期中学几何作图教科书中作图举例

民国时期中学几何作图教科书中的作图内容整体与清末相较变化不大，但例图中符号的表述有所不同，基本上使用了西方的A、B、C、D、E等英文字母来表示点、线、面等代替中国传统的甲、乙、丙、丁、戊等，例图序号也发生了变化，如“第二十图”到民国后期表述为“例图20”，详情如图6、图7、图8.

图6 民国初期几何作图

图7 民国中期几何作图

图8 民国中后期几何作图

当然，上述所给出的仅为例图，每一例图在几何作图教科书的解说中都给出了具体的作图步骤，从基本作图到问题解决作图都是如此.民国时期的几何作图教科书中亦有近似作图，如正七边形作图和正九边形作图等，方法亦如清末几何作图教科书中所讲述，只是对于不能尺规作图的正多边形作图在不同时期、不同版本的教科书中所选近似作图的例题有所差别，在清末及民国早期的几何作图教科书中对于正多边形的近似作图只介绍其中某一种，或作正七边形，或作正九边形，在作图解说的步骤中备注：其它正多边形的作图方法亦如此，让学习者举一反三练习之.在民国中晚期的几何作图教科书中对于正多边形的作图则给出更多地例题和例图，如在介绍完正五边形、正六边形、正七边形、正八边形、正九边形的作图方法后，在练习题中要求作任意正多边形.这种情况实际上是让学习者自己在多种例题学习的基础上探索规律，掌握方法，教科书的如此编排相较清末水平更胜一筹，逻辑性、思想性更强，对学生掌握知识的要求更高.

3.4 几何作图教科书编写理念及编排体例

不同时代的教科书编写理念体现不同时代的教育观，反映一个时代的育人特色.民国时期是中国近现代史上极其重要的历史时期.通过剖析此时几何作图教科书的编写理念可以管窥当时我国的数学教育，管中窥豹，可见一斑.通过学习民国时期几何作图教科书的续言、序、例言、编辑大意等总结其编写理念如下：

(1)注意培养学习者的空间想象能力、创造力和动手实践能力，为其它学科的学习和参加社会生产实践奠定基础.

(2)注重学习者对几何作图理法的理解，技术的修炼及在实际生活应用的技能的培养.

(3)使学习者养成作图整洁美观的习惯，形成严谨、精确的几何观.

(4)在几何作图中培养学习者一丝不苟、精益求精的涵养美德和意匠精神.

(5)在几何作图理法融会贯通的应用中培养审美，从形状到几何原理的美.

此外，这一时期几何作图教科书的编排形式亦如教科书的多样化，呈现出多样性的特点.就编排形式而言，从宏观上主要分为五种.第一种是解说与例图分册编排，如黄元吉编撰的《共和国教科书中学校用用器画解说》和《共和国教科书中学用器画图式》等；第二种是解说与例图合为一册，但先集中编排解说后集中编排例图，如冯騑编撰的《应用用器画教科书几何画》等；第三种是将页面分上下两部分布置，上面是例图，其对应的下方是解说，如求是学社编撰的《新撰平面几何画法》等；第四种是在同一页面上将解说后穿插例图，此种形式编排的几何作图教科书种类较多，如王雅南编撰的《新制用器画》、钱运生编撰的《教育部审定投影画》等；最后一种采用阅读版式，左侧为解说、右侧为例图，如朱铣、徐刚合编的《平面几何画法》、《立体投影画法》和《简易透视画法》等.如上种种编排，有的图文并茂有利于学习过程中的随时参考，方便快捷；有的先呈现解说再呈现例图，在学习的过程中留有思考和探索的空间也不失其科学性，还有的视内容需要多种形式兼而有之，灵活处理，故不能简单的评判孰优孰劣.不同的作图内容有其自身的特殊性，再加上学习者学习心理的各体差异性等因素，使得每种编排都有其存在的理由，至于在具体的使用过程中哪种编排更胜一筹还需要多方面的考究.从微观上考察有如下几种：一是行文从右至左竖排编写，如图9；二是行文从左至右横排编写，如图10；三是汉字竖排与数学符号横排相结合，这种情况相对前两种比较少见，如图11.中学几何作图教科书如此丰富的编排形式也是民国时期教科书“百花齐放”式的出版盛况的写照，其中有编撰者的爱国民族情结，留恋传统；也有渴望接受新文化的迫切心情，向往革新；更有甚者也许两者皆有.如此种种无不体现出编撰者的用心良苦和教育情怀.

图9

图10

图11

3.5 几何作图教科书内容特点

民国时期的几何作图教科书大部分出自国人自编，在借鉴前人的基础上取长补短，内容设置偏重于实际应用，其教育目的亦如清末，则是“以备他日绘画地图、机器及讲求各项实业之初基”.这是符合当时“教育救国”的国情和数学教育实况的，与现实生活紧密联系也有利于激发学习者的兴趣，有助于学生将几何作图知识应用于现实实践活动中.具体如下：

(1)几何作图教科书内容包括平面、立体、透视，主要集中于平面部分，在依据几何原理的条件下，内容涉及画法几何和工程制图等领域，以期为工业实践打好基础.收集到的29种几何作图教科书中涉及平面几何作图的有18种，立体几何作图的有13种，透视法作图的有5种.反映出民国时期实际教学内容的不确定性，教科书内容没有统一的、严格的规范，当然有部分教科书的绪言中也有编撰者示意教授者可以根据实际教学需要酌情挑选其中的内容讲授，从另一个侧面也反映出不同版本教科书和教科书内容选用的相对自由性.

(2)在内容结构层次设置方面尽可能由浅入深，逐级递进.在平面、立体、透视统编的教科书中都是遵循先平面，后立体，最后透视，在知识结构方面体现了一定的规范性.其中知识点的呈现更是按照点、线、面的顺序展开，由简至繁，从一般到特殊，螺旋上升，整体上看也是符合学生认知结构和心理发展特点的.

(3)内容呈现方式单一，基本上遵循简单介绍相关定义—例题—例图—作图步骤—练习题(或无练习题)的顺序展开.在设置有练习题的教科书中，练习题也不是每章节都有，但凡设置的练习题，一般情况下数量与例题数量相当，难易程度与例题难易水平匹配.

(4)部分教科书中的数学名词附有英文注释，便于与外国在知识上的交流，在个别教科书的附录中还有中英文对照索引，不乏国际性视野.当然也因为在翻译、编译国外的教科书时不同的编撰者因人而异的选用多种名词术语，为了避免学习者在阅读时的误解和提高教科书的质量，提升其科学性而采用的一种方法、手段或策略.

(5)此时几何作图教科书旨在培养学生应用几何之理作图的能力，是进一步学习和从事工业、商业、建筑等事业的基础，在强调精确作图的同时亦要求学生养成思维缜密的习惯，作图准确，技术纯熟.所以内容设置上解说与图式基本上一一对应，作图步骤叙述条理清晰，个别的教科书中有专门作图工具和作图注意事项的介绍，以便提高作图的精确度、整洁度、速度，增强作图的美感.

4 结语

自1912年至1949年中学几何作图教科书的发展呈现出阶段性，编排形式相对自由，内容取材贴合实际，它们是民国时期教科书出版概况的一个写照，也是民国时期数学教育实况的一种再现，更重要的是它在这数十年的中国教育史上为数学教育，特别是为几何学习起到了一定的促进作用.欧氏几何一直是我国几何课程的重要内容，重视思辨论证，在我国的几何教育中曾一度过于强调理论.缺乏直观，实际上就扼杀了几何.当前的新课程标准对几何直观的地位非常注重，提倡学生敢于实践、敢于创造、敢于发明、不守成规，在创新中发展，在发展中创新，而几何作图正是实现这一愿望的重要途径和几何教学中难得的实践活动.历史是一面镜子，鉴往可以察今.通过对民国时期的中学几何作图教科书的考察是否能为今天的几何教育提供一些启示，它是我国教育史上的一颗明珠，挖掘其背后蕴藏的教育、文化、精神和思想价值，让历史的养分更好的滋养数学教育的现在和未来.