章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

1 三角形在中学数学中的地位

三角形是最简单的几何图形，但它是最重要的.正如项武义所说，“三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现.三角形之所以成为古希腊几何学所研究的主角，其原因也就是：三角形既简单而又能充分反映空间的本质.”[注]项武义. 基础几何学，人民教育出版社，2004年版，第8页.这说明掌握好三角形知识就意味着理解了空间的大部分基本性质.同时，三角形的知识是研究其他几何图形不可或缺的基础，基础不牢地动山摇，所以三角形的学习对整个几何学习都是举足轻重的.人们常说，数学成绩的两极分化发生在平面几何的学习中.其实，更具体地说，是在三角形的学习中.所以，把三角形学好对整个数学课程的学习也是至关重要的.

从三角形的内容结构而言，其“基本事实(公理)——概念——性质(关系)——结构(联系)”的公理化体系清晰明确，可以呈现一个完整的“抽象数学概念——形成联结数学概念的判断而得出命题——通过推理、论证，形成一个层次分明、结构严密的逻辑系统”的过程，“从一般三角形到特殊三角形”、“从定性到定量”的研究路径及其体现的发现和提出问题的思想和方法，等腰三角形、直角三角形的特别重要性所反映的特例在一类数学对象中的地位和作用等等，对后续其他几何图形(无论是平面图形还是立体图形)的内容组织都具有示范性，甚至都可以直接引用.

从认知过程看，在三角形的研究中，从获得研究对象到基本性质的发现和证明、从一般三角形到特殊三角形的研究中所展现的创造性思维和数学思想、从定性到定量的研究路径和数学地思考问题的方式方法等等，都具有典型性和示范性；同时，以三角形为载体的几何学习，对发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养也有奠基性作用.所以，三角形的学习可以帮助学生掌握研究一个数学对象的基本套路，初步形成数学思维方式，这是最具可迁移性的“大概念”，在后续学习中将得到不断的应用和加强.

同样重要的是，在揭示三角形丰富多彩的内涵、经历充满活力的各种各样三角形定理的形成过程中，可以使学生充分体验到“利用简单的公理，却能推出美妙的定理”(丘成桐)的韵味和奥秘，学生能从中得到其他学科所不能给予的严格逻辑推理训练，同时又能得到数学美的熏陶.一个看上去如此简单的几何图形却蕴含了大量漂亮的几何定理，它所提供的欣赏数学美的机会也是无与伦比的.数学史上，人们对三角形的研究倾注了大量精力，对勾股定理的证明热情持续不减，有名有姓的三角形定理就有许多，学生可以从中得到实实在在的数学文化浸润.

所以，在中学数学课程中，三角形是一个居于核心地位的几何图形，是能够充分体现“借助简单对象阐释深刻思想”的理想载体.对于三角形的课程设计、教材编写、教学设计与实施等，是值得下大力气研究的.

2 三角形的内容分析

2.1 研究思路

在《普通高中数学课程标准(2017年版)》的“课程性质”中提到：“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学源于对现实 世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.”这段话非常简短，但给出了数学的研究对象及其来源，也给出了研究内容、过程与方法以及研究结果和作用，从中可以看到研究一个数学对象的基本套路、思想与方法.下面我们以此为指导分析一下三角形的研究思路.

整体上，从研究对象看，在抽象三角形概念的基础上，按从一般三角形到特殊三角形展开；因为三角形是一个有界的平面图形，所以有度量问题，按从定性到定量的路径展开.

从定性角度研究三角形，是对图形的定性性质、图形之间的关系与性质两个角度展开，主要内容有：三角形的要素(边、角)、相关要素(外角、高、中线、内角平分线等)之间的定性关系；两个三角形的全等关系；对于特殊三角形，则要研究三角形成为“特殊”的必要条件和充分条件，即研究等腰三角形、直角三角形的性质和判定.

三角形的定量研究主要从图形的度量及要素、相关要素的定量关系展开，研究三角形的三边边长、三个内角的角度、面积、高、外径、内径等几何量之间存在的基本函数关系.把定性的结果变成定量的结果，把存在的东西具体表示出来，这是数学的基本追求.一旦定性的事物得到定量的表示，就意味着我们完全把握了这个事物的变化规律，然后就可以利用计算机将其操控于股掌之间.

2.2 抽象三角形概念——获得研究对象

抽象研究对象是数学研究的首要任务，是认识数学对象的第一步.如果抽象过程不充分，数学对象不明确，那么后续研究就无法展开.教学中存在的“一个定义，三项注意”现象，就是不重视抽象研究对象的表现.概念教学走过场是导致学生数学学习困难的主要原因之一，必须引起高度警觉.

数学有独特的抽象研究对象的方式，有基本套路可以遵循.抽象三角形概念按照“定义—表示—分类”的线索展开，具体要完成的事情有：

1．定义与命名，即给出三角形本质特征的确切而简要的陈述.

一个几何图形的本质特征是指其组成要素及其基本关系.以此为指导思想，通过对典型实例的分析、归纳得出共性，再抽象、概括出三角形的组成要素及其基本关系，然后用严谨的数学术语作出表述，就得到了三角形的定义.

需要注意的是，仅仅从分析与综合、归纳与演绎、联系与类比等一般思维方法的角度阐释数学定义的抽象过程是不够的，因为这样并没有解决“如何分析”“归纳什么”“如何类比”等问题，而这些问题恰恰是启发学生展开数学思考与探究的关键.我们知道，点、直线、平面是空间基本图形，柱、锥、台、球是空间基本立体图形；多面体由直线型平面图形围成，旋转体的表面可以展开成平面图形(圆、圆的一部分)；直线形平面图形由点、直线段围成.所以，几何图形的组成要素及其基本关系归根到底要从点、线段、圆(或其部分)及其位置关系入手分析.这样，在三角形定义的教学中，一定要让学生在明确“几何图形的要素、要素之间的关系各指什么”的基础上，对“三角形的组成要素是什么”“要素之间有什么关系”展开分析、归纳、类比的思维活动，这样才能做到有的放矢.

2．表示，即用符号表示三角形及其组成要素.

数学对象的表示是与众不同的，有符号语言、文字语言和图形语言等多种方式.特别是符号语言的使用，使数学表达具有简洁性、明确性、抽象性、逻辑性等融为一体的特点，可以极大地缩减数学思维过程，减轻大脑的负担，更有利于我们认识和表达数学对象的本质.所以，在抽象研究对象阶段，要重视数学对象的符号表示.

3．分类，即以要素的特征与关系为标准对三角形进行分类.

分类是理解数学对象的重要一环.一个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们“分门别类”，就使这一对象所包含的事物条理化、结构化，并可由此确定一种分类研究的路径，使后续研究顺序展开.分类就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关系的“子类”系统结构，从而就进一步明确了数学对象所含事物之间的逻辑关系，由此可以极大地增强“子类特征”的可预见性，从而也就有利于我们发现数学对象的性质.例如，“三角形—直角三角形—等腰直角三角形”这个小系统中，在等腰直角三角形中可以“看出”勾股定理，从而帮助我们“预见”勾股定理是一般直角三角形的特性，并进一步“预见”一般三角形中的余弦定理.

4．定义相关要素，给出外角、中线、高线、角平分线等概念.

我们把三角形作为一个系统，三个顶点、三条边、三个内角是基本要素.如果研究的视野仅限于这些要素的关系，则三角形的性质就有些单调乏味，也就不能体现“反映空间大部分基本性质”的地位，所以必须对它的要素作出进一步的划分，以更充分地反映三角形的结构、功能，为研究内部要素的关系提供更丰富的视角，为三角形与外部系统的联系提供更多的通道.可以看到，要素、相关要素及其关系是三角形丰富多彩性质的源泉所在.

以上是一个完整的获得数学对象的过程，“定义—表示—分类”是“基本动作”，是学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的语言表达世界的基础，教材和教学都应该以明确的方式告诉学生“如何观察”、“如何定义”，以使学生逐渐学会抽象一个数学对象的方式方法.

2.3 研究基本性质

抽象出概念后，接着要从定义出发研究性质，即研究定义所界定的数学对象的内涵或要素之间的基本关系.我们把三角形要素之间的最基本关系(主要是定性的等与不等关系)称为基本性质.

(1)边角的相等关系——等边对等角，等角对等边；

(2)边角的不等关系——大边对大角，大角对大边；

(3)三边的定性关系——两边之和大于第三边；

(4)内角的定量关系——内角和等于180°；等等.

上述三角形的基本性质非常直观，通过观察、测量或剪贴拼接是不难发现的，但要证明它们，则需要做一番逻辑关系的考量，并要有一些预备知识.限于篇幅，这里暂不深究.

2.4 研究相关要素的相互关系

三角形性质的丰富多彩则来自于要素与外角、中线、高线、角平分线等相关要素的相互作用和联系.

(1)外角与内角的关系——外角等于不相邻两内角之和；

(2)外角之间的关系——外角之和为360°；

(3)中线的位置关系——三条中线交于一点(重心)；

(4)高的位置关系——三条高交于一点(垂心)；

(5)角平分线的位置关系——三条角平分线交于一点(内心)；

(6)三边的垂直平分线的位置关系——三边的垂直平分线交于一点(外心)；

(7)三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交于一点(旁心)；

(8)三边中点连线与三边的位置关系、大小关系——两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半；等等.

以上三角形的性质，概念是第一层次，要素的关系是第二层次，要素与相关要素的关系是第三层次.在此基础上，还可以进一步产生第四层次的性质.例如，对于重心，我们有：

(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1；

(2)重心和三角形三个顶点连线所成的三个三角形面积相等；

(3)重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；等等.

如果进一步运用坐标法、向量法，就可以将重心与三角形的三个顶点之间的关系进行量化表达：

实际上，这些性质是与其他相关知识的联系中产生的，所以它们的证明是需要其他知识的，这就有一个知识的逻辑体系问题.但是，在探索三角形性质阶段，对“三角形中的几何元素及其相互关系”有序而层层深入的探索，对于发现和提出性质的猜想是非常有用的，而且在探寻猜想的证明中，也能通过这种知识间的内在联系提供思路、找到方法.

另外，对三角形性质的有层次分析还可以给课程内容设计、教材编写和课堂教学以启发：对一个数学对象的内容取舍要有主次之分，像第二层次、第三层次的性质，属于基本内容，必须纳入全体学生的必修范围；而第四层次的性质，是重要的拓展性内容，是培养学生的创新精神、实践能力的优良载体，可以设计为数学探究活动的内容，或者作为选学内容，让学有余力的学生通过自主探究方式深入学习；有些内容是无关紧要的繁琐细节，不应让学生浪费时间.在内容安排上，也应按上述层次循序渐进，让学生从基础到拓展创新拾阶而上.当前课堂中仍普遍存在着以解题代替一切的现象，而老师给学生做的题目往往针对繁琐细节，对理解数学核心概念帮助不大，而且不是循序渐进地安排，很快让学生面对复杂问题，违背了研究数学对象的一般规律，是造成数学学习困难和过重学习负担的主要原因.

2.5 研究两个三角形全等

我们知道，“相等”是数学中的基本关系.定义相等关系的目的在于说明在所讨论的事物中什么是自己最关心的.两个三角形全等就是它们能够完全重合，这表明，对于三角形，我们只关心形状和大小，而它的位置则不是我们感兴趣的.由此还可以得到“确定一个三角形所需的条件”，给出三角形稳定性的理论解释.同时，这也是“尺规作图”的理论基础.

1．定义，两个能够完全重合的三角形叫全等三角形.

这个定义是依赖于直观的，“完全重合”是一种日常生活语言，仅仅是初级抽象，我们还需要进一步赋予它以数学意义，以提升其抽象层次.例如，把“完全重合”归结为三角形要素之间的重合，即顶点的重合(对应顶点)、线段的叠合(对应边)、角的叠合(对应角)；通过平移、翻折、旋转等变换得到的图形与原图形全等；更精确的定义则需要用代数的方法.

2．性质，以“两个三角形全等”为条件，推出两个三角形对应元素之间的关系.

由定义可知，全等三角形对应边相等、对应角相等.其实，只要是“对应元素”，如对应高、对应中线、对应角平分线等等，它们的大小相等、位置关系相同；全等三角形经过平移、旋转、翻折等变换，可使对应顶点重合(从而可以推出任意对应点都重合).

3．判定，就是研究两个三角形全等的充分条件.

仍然要先从三角形要素间的相互关系入手，就是要寻找三角形全等的最少条件：6个要素至少几个对应相等才能保证两个三角形全等.同时，还要归纳一下这些“最少条件”的共性.可以发现，SAS，ASA，SSS的共性是：三个要素，其中至少有一条对应边.当然，还可以结合其他三角形性质给出判定，如AAS.

无论是性质还是判定，除了由三角形要素间的相互关系给出外，还可以由要素和相关要素的关系给出，这样就可以得到大量命题.这些命题可以作为训练学生创新思维、逻辑推理能力的练习题.另外，从平行线的性质与判定开始，对几何图形特殊的位置关系、一类几何对象中的特例，都可以从“命题-逆命题”的关系入手展开探索与发现，这是培养学生“四能”，使学生学会数学地思考问题的契机.

2.6 定性结论的应用

1．尺规作图的证明.

尺规作图的证明是三角形的性质、全等三角形定理等的直接应用，其中最基本者自然是与基本几何图形及其相互关系相关的作图.例如：作一个已知角的平分线，作一个角等于一个已知角，作一条线段的垂直平分线，给定三边、两边一夹角或两角一边作一个三角形等等.

尺规作图有点“自找麻烦”的味道，只能用没有刻度的直尺和圆规，在承认“五项前提”、有限次运用“五项公法”而完成作图，这样的要求很苛刻，并且似乎没有什么实用价值.但在数学史上，像倍立方、化圆为方、三等分角等几何作图难题对人类智慧形成长期挑战，激发了数学家的好奇心，许多数学家致力于“几何作图不能问题”的研究，并由此推动了数学的发展，这是尺规作图研究中产生的一个始料不及的“副产品”.所以，从这个意义上，适当地选择一些尺规作图问题以激发学生的数学兴趣，作为训练数学优秀生的数学探究活动素材也是可以的.事实上，几何作图对于培养学生的逻辑推理、直观想象等素养是非常好的载体，作图过程中的“分析”、“讨论”等可以有效锻炼思维的深刻性、严谨性.

2．角平分线性质定理、线段垂直平分线性质定理等的发现和证明.

这些性质的证明难度不大，难点在如何发现性质.我们仍以“几何图形组成要素的相互关系”为“引路人”，分析一下面临的问题.

如图1(1)，以射线OP平分∠AOB即∠AOP=∠BOP为前提，研究角平分线的性质.

(1) (2) (3) (4)图1

因为OP的组成元素是点，射线OA，OB是∠AOB的组成元素，所以“OP上的点与OA，OB确定的关系就是角平分线的性质”.明确这一点很重要，它指明了研究方向.由相交线的研究经验，点与直线的关系中，点到直线的距离是主题，于是我们可以把“确定的关系”进一步明确为“OP上的点到OA，OB的距离PA，PB之间的关系”(如图1(2)).结合∠AOP=∠BOP，容易得到猜想PA=PB.在此基础上，可顺理成章提出“∠AOB内到角的两边距离相等的点有什么位置关系？”另外，角平分线的性质还可以有各种变式.例如，过OP上任意一点作OP的垂线(图1(3))，或OA=OB则PA=PB(图1(4))等.

线段垂直平分线性质的研究思路与角平分线性质类似，不赘述.

说明：对全等三角形的研究，按照“定义—性质—判定—应用”的路径展开.从“几何图形要素的相互关系就是性质”的角度看，这里的性质是定义的具体化，而“判定”则是给出三角形全等的“最少条件”，是性质的逆定理.在“应用”中，用全等三角形定理等证明有关性质是一方面，更需要注意的是有关性质的发现.例如，如何想到“角平分线上的点到角的两边的距离”、“线段垂直平分线上的点到线段端点的距离”等值得研究的问题.

2.7 研究特殊三角形

我们知道，一类数学对象中，“特例”的地位往往也是特殊的.发现有价值的“特例”是深刻理解研究对象的重要一环.一般而言，一种几何对象的“特例”要从“要素或要素关系的特殊化”入手进行抽象；研究的内容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性质，以及“特例”的判定；研究路径可以是“定义—性质—判定—应用”.

1．研究等腰三角形.

项武义认为，等腰三角形是最基本的三角形，原因是它的对称性具体而入微地反映了平面的反射对称性，成为讨论平面几何中对称性的种种表现及推论的基本工具.所以，定性平面几何的首要任务是推导等腰三角形的特征性质.[注]项武义. 基础几何学，人民教育出版社，2004年版，第16页.而特征性质的推导中，指导思想仍然是“要素的相互关系”、“要素、相关要素的相互作用与联系”，关键是搞清楚对称轴的特性.

图2

(1)定义：如图2，△ABC中，如果AC=BC，则称△ABC为等腰三角形，C为顶点，AC，BC为两腰，AB为底边.

(2)性质：①AC=BC(定义)，②∠A=∠B，③∠C的平分线垂直底边，④底边的中线垂直底边，⑤底边的高平分∠C.

(3)判定：作为性质定理的逆定理.因为以上各条性质都是可以利用SAS，ASA或SSS进行等价互推的，所以性质定理的逆定理都是成立的，这就得到了等腰三角形的判定定理.

(4)等腰三角形的特例——等边三角形.

仍然按“要素、相关要素的相互关系就是性质”，在等腰三角形性质的基础上，考查等边三角形特有的性质：①等边三角形的各角都等于60°；②各边上的高、中线、垂直平分线以及相对顶点的角平分线重合；③重心、垂心、内心、外心重合——等边三角形的中心；④等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值；等等.

上述性质定理的逆命题成立，再联系相关知识作出简洁表达，即可得等边三角形的判定定理，例如三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.

(5)应用.等腰三角形的特征性质是明显的，学生通过观察测量、翻折操作就容易得出猜想，性质的证明也不难，只要利用顶角平分线(对称轴)，用SAS，ASA就可以了.关键是如何通过教材和教学的设计，让学生体会到等腰三角形在定性平面几何研究中的基本工具地位，这就是在“应用”中要考虑的主题.有两条思路，一是像目前许多老师做的那样，让学生做大量复杂的题目，因为这样的题目很多，所以学生的负担很重；二是让学生回过头来，用等腰三角形的性质去证明SSS、角平分线定理、线段垂直平分线定理、大边(角)对大角(边)、三角形的外角大于不相邻内角、三角形两边之和大于第三边等平面几何的基本定理，而且像尺规作图那样对方法做一点限制(例如尽量不用平行线性质).我认为第二条思路是值得重视的，这样可以让学生切实体验到数学的整体性、联系性，体会像等腰三角形这样的核心知识的力量，体会由数学知识的层次性所决定的系统性，对学生的智力也有足够的挑战性，而且可以切实减轻学生的负担，学生对数学的感受也会好得多.

从数学学习过程看，“应用”的目的是促使学生深入理解概念，使知识融会贯通，主要通过解题完成.解题要把握量和质的平衡，当前的问题是量太大而质不高，人为制造、细枝末节、繁琐复杂的题目充斥课堂，学生做大量题目但对数学到底是研究什么的知之甚少.

2．研究直角三角形.

仍然沿用“要素、相关要素之间确定的关系就是性质”的思想，可以发现直角三角形的定性性质比较“平凡”：直角三角形的两个锐角互余.而“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质放到矩形中更容易发现.直角三角形的判定也同样“平凡”：有两个角互余的三角形是直角三角形.

两条直角边对应相等的两个直角三角形全等(除用SAS证明外)、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，这两条放在勾股定理中看，就是a2+b2=c2这个等式中任给两个字母的值就可以唯一确定第三个字母值的几何解释.

显然，直角三角形的不平凡在于勾股定理，而勾股定理的重要性则在于它在定量几何中所扮演的奠基性角色.前文已述，“直”是直线的根本特性，“平”是平面的根本特性，欧氏几何的根基就在这“直”和“平”里，数学家们用“公理”(平行公理、平面三公理等)给出了“平”“直”的基本特征(用直线上点之间的相互关系刻画直线的“直”，用平面上的点、直线之间的相互关系刻画平面的“平”).事实上，“公理”可以有等价定义，例如：过直线外一点有且仅有一条平行线，三角形内角和为180°，勾股定理，多边形外角和为360°，圆的周长与直径之比为π，同弧所对圆心角是圆周角的2倍.其中，勾股定理是度量直线段长度的工具，而直线段长度的度量则是定量几何研究的起点和基础所在.

在21世纪初开始实施的课程标准要求“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”.从教材编写和教学实践看，大多是按照如下过程安排“探究”：

图3

(1)图3中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边是否都有这样的关系？

(2)等腰直角三角形有“斜边的平方等于两直角边的平方和”，其他的直角三角形也有这个性质吗？图4中，每个小方格的面积均为1，分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积，能得出同样的结论吗？

(3)对任意直角三角形是否都有“斜边的平方等于两直角边的平方和”？

图4

我认为，上述“探究”没有数学的含金量，对学生的思维也没有挑战性，其中的关键点是“告诉式”给出的.如果有学生问：“你是如何想到要去计算这些面积的？”显然，这是一个更关键的问题，是真正具有探究价值的，但已超出初中学生的能力范围.

我认为，在“要素、相关要素之间的相互关系就是性质”的引领下，发现三角形的各种定性性质有“基本套路”，但勾股定理的发现和证明具有很强的构造性，如果没有毕达哥拉斯那样对图形关系的高度敏感性和好运气，那么要发现直角三角形三边的平方关系是很难的.所以，在初中课程中，可以将内容和要求改为“探索勾股定理及其逆定理的证明方法”.

2.8 研究三角形的定量性质

三角形的定量性质中，勾股定理具有基本的重要性.另外，三角形的面积公式、相似三角形的性质也是最基本的.由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形状、大小由这三组要素分别唯一确定.从定量角度看，就是三角形的三边边长、三个内角的度数、面积、高、外径、内径等任意的几何量都可以用这三组要素分别表示.这就是三角形定量性质所要研究的主要问题.

1．几何度量课程设计及学习过程分析.

(1)几何度量的内容分析

(2)几何度量的课程教材设计

显然，如果从发挥定量几何的育人功能看，先让学生解决与单位长可公度的线段长、矩形面积公式等问题，了解几何度量的基本思想，积累相应的直观经验，会用公式解决一些度量计算或实际问题，在学生掌握了极限理论和逼近法后，再重新提出几何度量问题，引入不可公度性，并用逼近法对有关定理和公式进行“补充证明”，使之达到严密化.这是一种比较理想的课程设计，符合学生的认知规律，有利于学生循序渐进地认识几何度量理论，并能在此过程中有效地发展学生的理性思维.但我国现实的数学课程设计是：小学阶段学习线段、面积的度量，提出了“经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性，在实践活动中体会并认识长度单位”，“探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积公式”的要求；高中阶段要求“知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式”(不需要进行理论证明)；大学对几何度量理论不再专门研究.所以，在我国的数学课程中，几何度量课程基本上是“模糊处理”了，学生没有机会接触“可不可公度”这样涉及空间连续性本质的问题，实际上中小学教师对这个问题也基本上是不了解的.

到底该如何有层次地设计几何度量课程，这是一个问题.

(3)几何度量学习过程分析

下面简要分析一下建立在直觉基础上、不涉及不可公度性的几何度量学习过程.认识长度、角度、面积、体积等，一般都经历下述五个阶段：

①量的初步认识，即直观感知“量”，直观或直接比较“量”的大小；

②量的间接比较，即用非标准单位或用另一个量为“中介”比较；

③提出统一度量标准的思想，认识国际通用单位并用其描述大小；

④国际通用单位体系的认识与换算；

⑤利用公式求量的大小(只有面积和体积有此阶段).

之所以有相同的认识过程，是因为这些几何量的数学结构相同，核心要素有两点：一是度量单位，这是一个从不标准单位到标准单位，最终形成单位体系的过程；二是单位的个数就是量的大小.当然，其背后的理论基础则是运动不变性、叠合性、有限可加(减)性以及不可公度性等度量的基本性质.

(4)面积的学习过程

根据以上过程，我们可以这样安排“面积”的学习线索：

第一步，直观认识平面图形有大小之分，一个平面图形的大小可以用数来表示，叫做这个图形的面积(不涉及曲面).

第二步，规定边长为1个单位的正方形的面积为1.直观上，任意移动这个正方形，其大小不会变化.

第三步，两个单位正方形如果不重叠，它们的面积之和是2.把边长为自然数a和b的矩形划分为边长为1的单位正方形的组合，用数格子的方法得出面积为ab.

第四步，默认边长为分数的矩形，其面积仍然是长×宽.

第五步，通过截割、平移、拼接等，求平行四边形、三角形的面积.

上述过程蕴含了丰富的数学思想和方法，可以积累数学活动经验，关注的是怎样通过“数数”的方法，用一个“数”确定一个几何图形(线段、平面图形、角等)的大小，渗透着度量的性质(运动不变、有限可加性等).

2．研究相似三角形.

两个图形相似，是对“形状相同”的数学刻画，其落脚点仍然在图形组成要素的相互关系上，而且是用一个“数”来表示这种关系的.《几何原本》对相似直线形(即多边形)的定义是：“凡直线形，若它们的角对应相等且夹等角的边成比例，则称它们是相似直线形”.[注]欧几里得. 几何原本，兰纪正 朱恩宽，译-2版，西安：陕西科学技术出版社，2003，151页.在此定义下研究相似三角形.另外，相似三角形边长比例式要利用平行线分线段成比例定理，而平行线分线段成比例定理的证明又要利用线段的不可公度性.

(1)从平行分割到相似三角形的判定.如果我们用运动的眼光看平行线段分割线段图形，可以得到图5，进而得出：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.进一步地，又容易得出：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.这样就完成了相似三角形的奠基.

图5

另外，如果两个三角形相似，那么我们可以通过图形的平移、旋转或翻折，将一个三角形叠放到另一个三角形上，而使其中一个角相互叠合，这个角的对边相互平行，如图6所示.这样，我们就可以像全等三角形那样，通过三角形要素间的相互关系给出相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.特别地，对于直角三角形也有与全等三角形类似的“斜边、直角边分别成比例的两个直角三角形相似”.

(2)相似三角形的性质中，关于三角形的要素(边、角)之间的定量关系已经由定义给出.所以可以把思路放得更宽一些，研究相似三角形的对应线段的比、面积比等与相似比这一“基本量”的关系，也就是说，把其他量表示为相似比的函数.

从认知的角度看，因为之前掌握的知识、学过的数学思想和方法以及积累的几何研究经验(数学活动经验)足以支持学生独立自主地研究相似三角形的性质，所以从课题的提出、研究内容的确定到研究路径的建立，再到各种各样性质的探究与证明，都可以由学生自主完成.事实上，无论是教材还是教学，相似三角形的性质都可以在单元整体设计思想的指导下，处理成探究性学习课题.

以上内容，通过与全等三角形类比，得出相似三角形判定、性质的猜想并给出证明不算困难，难点是建立相似三角形的研究基础——比例论.显然，难点的突破可以有力地促进学生数学思维的发展和数学素养的提升，但对一般学生而言，过分强调理论的严格性可能是不合适的.因此，对“平行分割”的处理，可以让学生通过直观感知、操作确认等数学活动，建立比例的相关知识、平行线分线段成比例定理等的基本理解，并可以通过与数系扩充(从有理数到实数)类比的方式，让学生感受线段的不可公度性，培养直观想象素养.在此基础上，把重点放在“明确问题—确定内容—构建路径—实施探究—形成结果—梳理体系”上，在“平行分割—对三角形的平行分割(作平行于三角形一边的平行线)—相似三角形判定的猜想与证明”的各关节点上加强“情境—问题”的设计，引导学生开展系列化的数学探究活动，相似三角形的性质则作为单元主题探究活动，让学生独立完成.

(3)关于习题的选择.因为在此之前学生已经学习了较多的几何知识，通过知识的联系、变式等可以产生大量的题目，所以必须认真考虑如何选择练习题的问题.巩固知识的基础题当然是重要的，但含金量高[注]数学题的质量应该有一些基本指标，例如：在深化理解、建立联系、发展概念、促进思维及建立良好认知结构等方面有 较好作用.的数学题往往有一定的难度，需要绞尽脑汁，但一旦通过持之以恒的努力获得突破，那么就会有融会贯通、一通百通之效，而有的题则做再多也无济于事.这里，三角形中位线定理、重心的性质、内(外)角平分线的性质、Menelous定理、Ceva定理等等，都可作为练习题，也可以设计一些作图题，还可以在限定某些条件或方法下证明有关定理(例如用面积法证明三角形相似定理).

3．从相似三角形到三角比

(1)从定性到定量.这里实际上是发现和提出问题、明确研究路径的过程.前面讨论的三角形定量性质，聚焦在边与边、角与角各自的定量关系上.进一步的问题是，三角形的边与角之间是否存在定量关系呢？由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形状、大小已经由这三组要素分别唯一确定，所以我们可以定性地得出结论：三角形的边与角之间存在确定的定量关系，例如由SAS可知，a，B，C都可以由给定的b，A，c唯一确定.

那么，三角形的边和角有怎样的定量关系呢？由“两角分别相等的两个三角形相似”可知，由“对应角相等”可以确定“对应边成比例”；由“三边成比例的两个三角形相似”可知，由“对应边成比例”可以确定“对应角相等”.所以，我们可以通过研究“边之比”与“角”之间的关系得出三角形的边与角之间的定量关系.

(2)直角三角形的边角关系.在三角形中，“边之比”与角之间的关系最明显的是直角三角形.以往的定性结论中有“在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”.换一种表述方法，我们有：

受上述结论启发，一个合理的猜想是：

这个猜想很容易由“有一个锐角相等的直角三角形相似”得到证明.

一般地，我们有：

这里，虽然只是“换一种表述”，但却赋予了相似比以新的数学含义，这就是“数学眼光”的威力.在此过程中，数学思想、看问题的角度或观点发挥着决定性作用，这是我们在数学教学中应引导学生认真体会的.

(3)一般三角形的边角关系，我们只要利用三角形的高，就可以转化为直角三角形的问题.例如：

图7

图8

由正弦定理就可以解ASA条件下的三角形了.

如图8，有c=bcosA+acosB；a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA.以cosA，cosB，cosC为未知元，解三元一次方程组，可得余弦定理：

以上定理是基于锐角三角形推理而得的，对于钝角三角形，需要先有钝角三角形函数与锐角三角函数的关系式：

其中A是钝角.

在上述讨论中，因为面积是基本而重要的几何量，三角形面积公式又很容易由锐角三角函数得出，而正弦定理就是面积等式的推论，因此正弦定理的推导应首选这个方法.

上述关系式以及正弦定理、余弦定理，在锐角三角函数的基础上，很容易通过三角形的高这个媒介而得到.所以，将正弦定理、余弦定理纳入初中数学内容，使任意三角形可解，这是非常值得考虑的.事实上，目前小学、高中的数学内容偏多，而初中的内容相对偏少，把解三角形的内容放在初中(其实这一内容在以往曾经放在初中)，可以缓解这个矛盾.

3 小结

以上我们以研究一个数学对象的内在逻辑为线索，从研究内容以及研究路径的确定、抽象研究对象的数学方式、几何图形的性质及其层次、几何图形性质的发现和证明等角度对研究三角形的过程中所呈现的数学思维方式进行了概要分析，并以此为依据阐释了相关内容的育人价值，在分析的过程中顺便对初中平面几何课程内容的选择、教材的设计、教学内容的处理(如将第四层次的性质作为数学探究活动、把“探究勾股定理”改为“探究勾股定理的证明”、相似三角形的单元整体设计、正弦定理和余弦定理的内容安排等)、习题的选择与安排以及课堂教学中应关注的问题等进行了讨论.笔者始终坚信，学科育人要依靠学科的内在力量，而数学学科的育人力量就蕴含于数学内容之中，因此教师的专业水平首先体现在挖掘数学内容所蕴含的育人资源上，其中对内容所反映的数学思想和研究数学对象的过程中所体现的数学思维方式方法的理解和教学解读又成为关键.

事实上，本文试图从数学思维方式的角度给出一个解析数学内容的框架.从中可以发现，在解析教学内容的过程中，为了提升对数学内容的认识水平，我们必须对一些具有统摄性的“一般观念”(big idea)有基本把握.例如：如何抽象一个数学对象(例如，对于几何对象，要从分析典型事例的组成要素及其基本关系入手)；数学对象的定义方式；几何图形的性质指什么；代数性质指什么；函数性质指什么；概率性质指什么；等等.在“一般观念”的指导下，循着“教学内容的内涵——由内容所反映的数学思想和方法——当前教学内容的上、下位知识(明确知识的来龙去脉)——内容的育人价值”的路径，对教学内容进行深入细致的解析.在此基础上设计系列化数学活动，展开数学育人，其基本途径则应是：以数学知识技能为载体，创设符合学生认知规律的问题情境，在教师的启发引导下，让学生开展独立思考、自主探究、合作交流活动，获得“四基”、提高“四能”，形成数学的思维方式，培养理性思维和科学精神.其中，围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，促使学生在独立思考的过程中形成数学的思维方式，学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，又应是重中之重.而真正的数学问题、有数学含金量的教学活动又依赖于教师的数学理解水平.所以，归根到底，教师扎实的数学基本功、对中学数学内容的整体架构的把握，是搞好数学教学、落实核心素养的关键基础.缺少这个，其他一切免谈.这就是我们强调“四个理解”中，“理解数学”居于首位的理由.