杨 勇

(江苏省镇江市实验高级中学 212003)

1 问题提出

数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏”，一堂有价值的探究课通常从问题开始，用问题来驱动.这就需要我们设计好数学问题，在问题的探究过程中关注数学知识与技能目标的落实，挖掘数学知识的内在联系，揭示数学的思想和方法，让学生在问题解决中实现对知识的自我建构，积累数学活动经验，学会数学地思考和表达，这是新一轮课程改革所倡导的.然而，在目前的数学教学中，有的问题设计简单、肤浅，探究价值不大，只呈现表面的热闹，学生的思维得不到锻炼，有的问题又超出学生的能力水平，探究不下去，取而代之的是直接向学生实施知识的“填与灌”，学生缺乏主动建构知识的过程，导致对知识的建构不稳固.如何用问题驱动探究，让结论自主建构？下面笔者结合2018年12月在“江苏省教育科学研究院高中科研基地学校主题论坛”上执教的《导数在研究函数单调性中的应用》一课，谈谈自己的几点思考.

2 教学过程

2.1 创设情境 提出问题

师：过去我们怎样判断函数的单调性？

生：图象法、定义法.

师：现在还能用上述方法吗？

生：(思考片刻)不能，因为用图象法在描点画图时误差太大，用定义法经过运算又难以确定f(x1)-f(x2)的符号！

生：对老方法进行再研究或寻找新方法.

2.2 实验演示 合作探究

问题3：下面我们就对单调性的定义进行再研究，看看能否有新的发现？请同学们先独立思考几分钟，然后进行小组交流.

师：请各小组派代表发言.

组1：以增函数为例，对其中的关键语句“某个区间A上的任意两个值x1,x2，当x1

师：这两个数同号的数学表达是什么？然后又什么新的联想和发现？

师：能进一步寻找割线斜率为正的充分条件吗？

组4：瞬时变化率吧？函数在某一点处的瞬时变化率就是导数，那么是导数？好像一下子又说不清.

组5：割线的斜率可以反映曲线的平均变化趋势，当其中一点无限逼近另一点时，割线就成了该点处的切线，切线的斜率反映的是曲线的瞬时变化趋势，这其中似乎有某种内在的联系！

师：用逼近的思想分析的很好. 函数y=f(x)在一点可导，意味着函数在这一点附近近似于一次函数，即曲线在一点的附近可以近似地看成一条切线，这叫“以直代曲”，若该点处切线斜率为正或负，从图形变化趋势上看说明什么？

组6：说明函数在该点处呈上升或下降的趋势.

师：如果函数在区间A上每一点处的变化趋势都相同，那么函数在该区间上整体的变化趋势如何，单调性又如何呢？

让我们借助几何画板来进行探究(由学生自由举例)，大家有什么发现？

组7：若函数在区间A上的每一点处呈上升(下降)趋势，则函数图象整体呈上升(下降)趋势，函数单调递增(减).由此可见，在区间A上的函数切线斜率决定了函数的图象变化趋势，也就是函数的单调性.即函数在区间A上的每一点处的切线的斜率大于零，函数单调递增；在区间A上的每一点处的切线的斜率小于零，函数单调递减.

师：上述猜想是从形的方面得到的，我们再从数的方面验证一下我们的猜想，请填表，完成以后，请每组自己也举出几个常见的函数进行验证.

函 数f(x)=x2f(x)=x3f(x)=ln xf(x)=sin x导数符号单调性

(1)独立验证，合作释疑，展示成果；(2)教师从学生中选择具有代表性的函数进行汇报展示.

问题4：探究至此，结论呼之欲出，谁来表达一下？

生：我们得到这样的猜想：对于函数y=f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．

2.3 自主建构 感悟新知

师：通过数和形两方面验证，每一次验证，都增强了猜想是正确的信心！接下来，我们将研究猜想的证明.

生：从直观上看，是成立的.

师：如何保证？

问题6：当P、Q是确定的两点时，的确如此！当P、Q是区间上任意两点时，能保证吗？

生：鼓掌！

师：精彩！“不知道切点S在哪里，但它确定存在！”请允许我借用贾岛的诗句：“松下问童子，言师采药去。只在此山中，云深不知处。”来表达一下我的心情，虽然我们不知道“老药师”在山中的什么地方，但他却肯定存在着.这种“纯粹的存在”在数学中是常见的，你还能举出这样的例子吗？

生：比如“抽屉原理”(也称“鸽笼原理”)就是把M个苹果放在N个抽屉里(M>N)，那么必定存在1个抽屉，其中的苹果多于1个.至于究竟是哪个抽屉，我们并不知道.

生：齐赞叹！

师：经过探究我们得到下面的结论：对于函数y=f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．

师：如果在某区间上f′(x)=0，那么f(x)为该区间上的什么函数?

生:常数函数.

设计意图：由于该结论的证明很难，在学生得出猜想后，很多老师会让学生记住结论，然后匆忙去做题，这样正确率或许很高，课堂气氛也许热闹，但学生对这一结论的理解还停留在表面的形式化，对导数正负与单调性的内在联系似懂非懂，为后继学习埋下了隐患，因为没有探究出结论的证明过程，运用起来总感觉是“无根之木”、“无源之水”.笔者在本环节，为引导学生自己证出结论，层层铺垫，循循善诱，激发学生突破这一难点，同时结合古诗词的赏析，培养思维方式，鉴赏数学之美，挖掘潜在价值，也为后续深入学习微积分的内容打下了坚实的基础.

2.4 拓展探究 深化理解

问题7：上述结论的逆命题成立吗？

即：如果f(x)在某区间上为增函数，那么在该区间上f′(x)>0成立吗?

生：不一定，在用几何画板的探究中发现f(x)=x3在R上为增函数, 但f′(0)=0.

师：也就是说，如果f(x)在某区间上为增函数，那么在该区间上f′(x)≥0.

问题8：反之,如果在某区间上f′(x)≥0，那么f(x)在该区间上为增函数，成立吗?

生：也不一定，f′(x)≥0即：f′(x)>0或f′(x)=0，当函数f(x)在该区间上的某个子区间内f′(x)=0，即为常数函数，不具有单调性.

问题9：那作怎样的修改后即可成立?

生：如果在某区间上f′(x)≥0，且该区间上的任一子区间内f′(x)≠0(在若干个不连续的点处的导数可以为0)，那么f(x)在该区间上为增函数.

师：分析透彻，回味绵长!

设计意图：教师应该充分认识到，学生知识结构的改变和数学素养的提升不仅是要教师讲，更需要学生的亲身体验、参与、交流，本环节通过问题设计，引导学生逆向的探究拓展，引发学生不断深度入思考，去明辨其中的充分性和必要性，从而达到对数学本质的深入理解，在这一过程中学生的思维被完全激活，在不断完善条件中提升了理性思辨的能力．

2.5 数学应用 巩固新知

例1：确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪些区间上是增函数．

例2：确定函数f(x)=sinx(x∈(0,2π))的单调减区间．

设计意图：例题教学是结论的应用和深化过程，重在模仿性、辨别性和层次性，例1、例2说明当根据定义不太容易解决函数单调性时，可以利用导数来解决;例3则说明不能根据定义法解决的，利用导数仍可以解决，从三次函数到三角函数再到较复杂函数，层层深入，让学生感受探究的价值，体现了导数法研究函数单调性的优越性和普遍适用性．

2.6 反思总结 归纳提炼

师：请说说今天这节课有什么收获？

生：一个数学方法；二方面应用；三类数学思想.

师：具体说说哪三类数学思想？

生：数形结合，转化与化归，以直代曲.

师：精彩的总结让我们对利用导数判断函数的单调性的认识得到了升华！

3 几点思考

苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者.学生对问题的好奇心和探知欲是天生的，关键是如何让学生在课堂上能主动探究，教师应认真研究学生已有的知识基础、认知结构，对新知识学习的心理准备、知识储备等，在此基础上，设计出合理问题，用问题驱动学生主动探究，通过问题的解决来实现自主建构.

3.1 用问题驱动探究要以教学目标为出发点

问题设计首先应该服从于教学目标的达成，教学目标是构成一堂好课的第一要素，如果说正确的教学内容决定教什么、学什么，那么明确的教学目标则规定教到什么程度、学到什么水平.我们上课之前需要思考为什么提出这样的课题？这样的课题包含哪些内容？课程标准对课题的要求是什么？如何抓住重点、突破难点？只有深刻理解教材，才能把握目标，才能有合理的问题设计，才能保证探究活动的开展和学生对知识的自主建构沿着正确的方向展开.本课中导数与函数单调性两个概念都非常抽象，引导和揭示它们之间的联系是重点也是难点，该内容是在学习了平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习能力基础和方法指导，也为后续深入学习微积分的内容打下了坚实的基础.本人在设计问题时作了充分考虑，驱动了学生开展更有效、更深入的探究活动，促进了学生对知识意义的自主建构.

3.2 用问题驱动探究要以情境创设为切入点

3.3 用问题驱动探究要以最近发展区为着力点

维果斯基提出的最近发展区理论，他认为个体的发展有两个水平，一是自身所能达到的独立完成任务的水平，二是在他人的帮助下完成任务的水平. 据此，合理的问题设计应以学生的最近发展区——介于这两个水平之间的区域为着力点，以学生已有的认知水平为基础，设计出让学生跳一跳能够得着的问题，这样既有利于让学生感到问题的挑战性，引领他们积极思考，又能感受到成功的喜悦，激发他们继续深入探究的激情和勇气. 需要说明的是，问题过难过易都不利于学生的探究，更不能无视学生已有的知识经验，简单强硬地从外部对学生实施知识的“填灌”，而是应当通过难易适中的问题启发学生在课堂愿意思考，能够思考，并且在思考之后能够有所得. 如本课中结论证明过程的设计，先降低难度，从P、Q是区间上确定两点得到证法，然后拾级而上，引导学生进一步推出：当P、Q是区间上任意两点时的情况也能保证成立，再经过总结反思，发现结论证明过程和唐诗意境竟然相互融通，让学生在广泛联系中不仅理解了“纯粹的存在”，更突破了抽象化证明的难点，实现了对结论的自主建构.

3.4 用问题驱动探究要以提高问题开放性为支撑点

涂荣豹先生曾经指出：启发探究最重要的就是要在教学中尽可能多采用一些元认知问题，少采用一些认知性的问题，即要通过提高问题的开放性来激发学生探究的积极性. 我们在设计问题时要具备一定的开放性和自由度，能够给学生的独立思考和主动探究留下充分的探究空间，同时也应将“同学间的合作和积极互动”考虑在内.数学问题开放性是相对于传统的“条件完备、结论确定”封闭性而言的,它只是“问题”，而不是有现成的解决模式可套的“习题”，在开放性问题的探究中，解决问题的思想和途径可能因人而异，灵活多样；结论或结果一般是丰富多彩的；预设与生成有时会“大相径庭”；正是因为这样，才有利于老师捕捉冲突点、引发思维碰撞，有助于学生建构知识，使每个学生在原有基础上获得相应的发展. 例如，本课中：“你能自己举例进行验证吗？”“结论的逆命题成立吗？”“作怎样的修改后即可成立？”等问题，起到了把探究活动引向深入的同时，也为学生发现问题、提出问题、分析和解决问题能力的提升奠定了基础.

3.5 用问题驱动探究要以促进数学思想方法内化为落脚点

数学教学内容是“数学基础知识”、“数学方法”和“数学思想”的有机结合，其中“数学思想和方法”是数学的灵魂，在教材中“数学思想和方法”大都没有直接的文字表述，它是从具体数学认识中提炼和概括出来的，其在后继认识活动中反复得到验证，带有一般意义和相对稳定的特征.在问题设计时尽力去挖掘和提炼知识背后所蕴含的数学思想，然后把它巧妙的融入到探究过程中，让学生去感悟、体验这其中的数学味，从而加深学生对数学概念、公式、定理、结论的理解，提高学生的数学能力和思维品质，促进数学思想方法的真正内化，在潜移默化中实现核心素养的提升.如本课中：学生对逆命题的探究，层层深入，鞭辟入里，明辨了其中的充分性和必要性，在达到对结论本质自主建构的同时，特殊到一般、数形结合等数学思想得到了渗透，数学抽象素养、逻辑推理、直观想象等核心素养得到了提高！