赵士元

(苏州市吴中区教学研究室 215104)

笔者曾对某区域小学四年级共6895人，初中二年级共5317人以及高中二年级共1733人作过一次关于数学教师教学行为的问卷调查，问卷涉及教师讲解、自主探究、交流互助等七大方面的内容，调查结果诱发我对数学教师教学行为的一些思考.

何为教学行为？教学行为是由教学的行为主体(教师和学生)以及所有与行为主体相关联的因素综合作用产生的一种行为方式，这种行为方式不仅与教学内容相关也与受教育对象以及教学条件等诸多元素有关，它受制于教师自身的教育理念以及对教学内容、受教对象的把握能力，其在教学过程中的表现形式有显性和隐性的两种.显性教学行为以课堂教学中教师的有声讲解和肢体表达为代表、而隐性教学行为重点是指资料收集、教师教育观、教师学生观等一切在作出可见行为之前在头脑中先期形成的思想、观念等行为.隐性的教学行为支配着教师的外显行为，反过来显性的教学行为则是隐性教学行为内在需求的外显表现，而课堂教学效果则是各种教学行为共同作用的结果，其中教师讲解行为对课堂教学效益的影响最大.本文拟根据平时的课堂观察和调查研究对“教师讲解”这一教学行为提出个人见解，意在寻求一种比较有效的带有一定普适性的数学讲解行为.

1 教师讲解要提升趣味性

一位资深的数学教师在谈到课堂教学时说过这样一句话：“课堂有趣学生爱，课堂无趣讨人厌”，数学课，历来以枯燥乏味而闻名，其中很大一部份原因是教师课堂讲解缺乏趣味性所致.在本次调查问测中我们设计了这样一个问题：

问题一：老师在讲解问题时，语言幽默风趣、自然流畅吗？

A．是 B．基本是

C．有时是 D．不是

三个不同学段的学生选择A的比例分别为小学78%、初中47%、高中39%，说明超过60%的高二学生认为数学教师的课堂讲解缺乏趣味性.主要原因有二：一是高中阶段的教学内容与初中和小学相比具有更明显的理性成份，需要学生更多地用理性思维而不是感性思维去感知教学内容；二是许多高中教师认为高中学生较初中生和小学生具有更强的理性思考能力，因此课堂教学中无需再强调讲解的趣味性，而这恰恰是高中教师认识上的偏差.事实上，不管是哪个学段的学习，他们都喜欢充满趣味的课堂，而且充满趣味的课堂能最大限度地调动学生的学习积极性,让学生在轻松的氛围中自由获得知识、掌握技能最终学会学习.

当然，课堂教学中的趣味性随年龄段的不同而有不同的表现形式，如果不顾学生学情一味地追求趣味很有可能落入“俗套”.

案例1一节“诱导公式”的公开课

教师在讲解完“cos(-α)=cosα”后为了让学生能形象地记住这一公式，用了一个比较“形象的比喻”，下面是这段比喻的实录.

师：同学们，我们怎么来记忆“sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα”这两个公式？

师：这样理解是可以的，但这个学生实际上在头脑中再次推导了这两个公式，这不算真正的记忆.

师：老师教你们一种记忆方式.

(此时，学生带着渴望的神情等待教师讲解)

师：我们把余弦符号中间的字母看成是一张嘴，而“-”是一颗糖，这嘴有点馋，把这颗糖吃掉了，所以公式“cos (-α)=cosα”中的“-”不见了，而正弦的嘴还没长好，所以这颗糖没有吃掉.

这段讲解看似很富趣味，但实际上有几点值得我们深思：首先，这位学生的理解非常好，从认识论的角度来看，学生记忆本身就有有意识记和无意识记，而这位学生能从定义本身出发理解这两个公式，这是非常值得肯定的，它是属于有意识记的范畴.但是老师却用否定的语气进行评价，这不利于学生的自主发展；其二，对于高中学生而言，再用什么糖果之类的比喻未免有点太“儿童化”了，这种比喻不符合高中学生的年龄特点；其三，这样的比喻本身带有科学性错误，我们暂且认定“cosα”中的字母“o”是一张嘴巴，它把糖吃了，而“sinα”没长嘴巴，但如果我们继续考虑书本没介绍的公式“cot(-α)=-cotα”，同样长了个嘴巴，为什么这里不吃糖了？难道这张嘴太“老”了，啃不动糖了？

2 教师讲解要突出整合性

教师的讲解行为实际上体现了教师对教学内容的处理和把握能力.无论是哪个学段的教师对于教学内容的讲解都有一个共性的要求：讲解要突出重点，否则讲解面面俱到、主次不分，学生的学习也就无法抓住重点内容，同时要追求“整合”以培养学生融合性思维的能力，否则学生学到的知识过于“碎片化”，不利于学生分析问题和解决问题的能力.但从我们的调查分析来看，在不同的学段中教师的讲解行为存在着明显的差异，小学阶段的数学教师比较重视重点内容的讲解而不很重视教学内容的整合和重组，而中学阶段的数学教师则反之，他们对内容的“整合和重组”的重视程度更甚于教学内容本身.这与中小学阶段教学内容的深度和宽度有关，我个人认为这是比较正常的.但也有部份中学教师在讲解时过于“单一化”，讲解时重视知识点的讲解而忽视数学知识的整体把握.

案例2一节《三角函数定义》的高三一轮复习课

教师在复习完三角函数线后出示了这样一条题：

下面是教师组织课堂教学的实录片断：

师：要求函数定义域，根据定义域的一般求法，我们应列出什么条件？

师：很好，函数定义域实际上就是不等式的解集，为求解这个不等式，我们需要用到三角函数线，请同学们再回忆一下刚才复习的三角函数线.

师：大家有没有什么不同意见？

(学生沉默)

师：有没有注意到余弦的周期性？

3 教师讲解要凸显数学性

数学课堂要有数学味、数学教师的讲解也要有数学味，所谓数学味就是数学的味道：它既不是美丽的画面也不是动听的音乐，既不是浪漫的诗意也不是有趣的情景，它是指向数学本身的对数学问题的洞察和解析，是从数学的角度探索数学特有规律的一种情感，它倡导用数学家的思维分析和解决实际问题.数学的味道既决定于教学内容的数学本质也决定于教师对数学本质的理解.数学的味道在课堂中体现出“思辩多于追风、灵动多于机械”的教学特点，师生在充满数学味的课堂中自由地思辩和探究并在其中不断地成长.可是，有些教师在教学中忽视了数学课堂中的数学味，过分地追求华丽、追求热闹、追求时尚，把教学当成演戏.更有甚者，个别教师把课堂当作展示自己的舞台，在课堂里尽情“表演”而对学生的学习状态置若罔闻.

案例3一节高考数学题的评讲课

已知函数f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．

这是2018年全国卷(Ⅱ)的最后一条题目.下面摘录一段课堂实录：

师：在解第(2)小题时，我们可以设函数h(x)=1-ax2e-x.同学们想一想，这个函数与题目中给定的函数有什么关系？

(经过大约2分钟的思考后，有一位学生举手)

师：很好，现在老师问你一个问题，经过这样的处理后你认为函数f(x)与g(x)之间存在什么样的关系？

(经过约一分钟的思考后，该学生回答)

生：由于ex总是正的，因此，f(x)在(0,+∞)只有一个零点等价于h(x)=1-ax2e-x在区间(0,+∞)上只有一个零点，所以我们只要研究函数h(x)=1-ax2e-x在区间(0,+∞)上只有一个零点时a的值.

师：这位学生讲的非常好！下面我们就用热烈的掌声对这位学生的回答表示祝贺和感谢.

下面我们来分析这段对话，我们不否认这位学生的思考是有价值的，它能挖掘出两个不同函数之间的内在联系，实现了问题的转化.但这里有几点值得我们深思：

一是学生的回答是在教师提出了一个新的函数后进行了追根索源的思考，这一点是值得提倡的.在数学教学中，我们应让学生学会象数学家那样去思考问题，对一些“自然而然”的结论要学会责疑、学会探索问题根源，但在这一案例中学生完成了“由果索因”这项工作，但具有数学味的课堂同时强调“由因导果”.本案例中教师先入为主出示了函数h(x)，问题是如果教师不提出这个函数，学生能想到吗？

二是这一转换是等价的，但转换过程中并没有实现“由繁到简”的过程，我们知道数学教学中往往要通过转化实现“化繁为简”、“由生疏为熟悉”、“化未知为已知”等目的，但本例的转化并没有实现这一意图.从思维的常规性来看，在数学转化过程中往往将“负指数”要化为“正指数”，但本次转化却是反其道而行之，实现了将“正指数问题”转化为“负指数问题”，这有违常理，为什么要这样转化？教师没有进行深入的思考，只是在“仔细”阅读了参考答案后反推出了所谓的解题思路，而且将这一解题思路淋漓尽致地在课堂展示给学生看了.看似讲得“头头是道”，实则只是教师的一堂“数学解题表演课”！

4 教师讲解要关注生成性

教学效果是课堂教学中预设与生成共同作用的产物，没有预设的课堂难以完成学习目标，而没有生成的课堂是呆板低效的.在平时的课堂观察中可以发现有些教师在上课时过分追过完美，把课堂当成讲堂，教学过程井然有序、课堂结构科学严密，但是学生在这样的课堂上被动地接受，知识的接受缺乏体验性过程，学习效率低下.

案例4在案例2提到的那节课上，有这样一条题目：

已知α的终边经过点P(3a,4a)，则sinα=________;cosα=________.

我们认为学生在课堂上出错是很正常的，问题是在学生得出这样的错误结论后教师如何引导学生“自我反省”？一个比较好的做法是设置相关题组让学生在练习中省悟，在比较中辩别.针对这一错误我们可以即兴编制这样一组题组：

(1)已知α的终边经过点P(3,4)，则sinα=________;cosα=________.

(2)已知α的终边经过点P(-5,-12)，则sinα=________;cosα=________.

(3)已知α的终边经过点P(3a,4a)，当a=-1时sinα=________;cosα=________.

通过这一题组的训练，学生很容易发现自身错误的原因所在，并且能更好地理解点P到原点的距离r的实际意义.此外，这样的处理强调了教师引导、设问，学生感悟为主的教学方式，让学生在自主学习、自觉参与中体验成功的快乐.

5 教师讲解要强化探究性

数学教师讲解的突出要求是要注重探究性，这也是数学性的主要标志.教师在课堂教学中应突出设疑、引导、探究，通过教师精心预设引导学生思考.面对一些比较复杂或者学生难以理解的问题，教师还要善于设置“中间台阶”以帮助学生跨越难点，以“问题链”为载体、以“导问”为手段引导学生在自主探究的基础上感悟数学的精彩结论,而不是以自问自答的形式直接告知结果.

案例5一节题为《正切函数图象与性质》的复习课

首先，教师与学生一起复习正切线的概念，并通过正切线画出了正切函数的图象，在得出了如图所示的正切函数图象后，教师要求学生根据图象回答如下两个问题：

(1)函数y=tanx的定义域和值域分别什么？

(2)函数y=tanx的单调性、奇偶性、周期性如何？

从课堂效果来看，大多数学生都能通过观察图象快速地说出正切函数的单调递增区间、奇偶性和周期性，随后教师提出了如下的问题(3)：函数y=tanx是奇函数，也就是说正切函数y=tanx的图象是关于原点对称的，换句话说原点是正切函数的一个对称中心，那么正切函数y=tanx除了原点以外还有其他的对称中心吗？如果有，请写出它的对称中心.

问题1：图象关于点P(x0,y0)对称的几何意义是什么？

问题2：用恒等式表示函数f(x)的图象关于点P(x0,y0)中心对称

问题3：若P(x0,y0)是函数y=tanx的对称中心，它应该满足什么条件？

问题4：从问题3出发，可否求出P(x0,y0)的坐标？

通过这些问题的探究让学生从理性的角度理解：函数f(x)关于点P(x0,y0)中心对称等价于等式“f(x0+x)+f(x0-x)=2y0”对任意实数x成立.

于是在研究正切函数y=tanx的对称中心时可设其对称中心为P(x0,y0).即，

对任意实数x都有：

tan (x0+x)+tan (x0-x)=2y0.

若tanx0存在，则取x=x0和x=0，分别得到tan 2x0=2y0和2tanx0=2y0，联立方程组得到tanx0=0，从而x0=kπ(k∈Z)，进一步得到y0=0;

tan (x0+x)+tan (x0-x)

恒成立，

上述研究既从数量的关系探究了正切函数y=tanx的对称中心，同时也充分凸显了“特殊到一般”以及“分类讨论”等重要数学思想，更重要的一点是这一探究对有效培养学生数学思维的严密性，进一步培养学生的数学学科素养也具有积极的意义.

以上所述是笔者本人对数学教师“课堂讲解行为”的一点思考，当然讲解行为只是教师教学行为的一个侧面.作为教师,我们的讲解要立足于引导，通过引导培养学生自己“找出路”的能力，让学生做开自己车的“司机”，而不是搭教师车的“乘客”，让学生在参与中学习、体验中感悟、在实践中提升，切实提升学生数学科学素养.