沈申文

[摘  要] 以高中数学为主要论述对象，探析数形结合思想在解答不同种类的数学题目时所起到的重大作用.数形结合思想作为高中数学解题的最重要的思想之一贯穿于高中数学的始末，必须被教师和学生牢牢掌握.

[关键词] 高中数学;数形结合;数学思想;解题运用

引言

过去有句流传甚广的俗语：“学好数理化，走遍天下都不怕.”此言虽然过分重视了理科对于学生发展的作用和意义，然而学好自然科学对于每一个高中生而言都有着极为重大的意义，这一点不言而喻.学好数学的最直观体现便在于使用数学思想解决问题的能力，教师在解决相应的数学题目时也应该使用这些重要而简便的数学思想，使自身的解题运算变得更加快捷高效，达到事半功倍的效果. 简而言之，数形结合是一种必须被高中生牢牢掌握的数学思想，教师也应该格外重视，在教学中重点把握，力求令学生领悟得到.

关于数形结合思想

1. 什么是数形结合思想

所谓数形结合思想便是通过“以形助数，以数解形”的方式来解决相应的数学问题.对此数学大家华罗庚教授曾于1964年发表的《谈谈与蜂巢结构有关的数学问题》中，以一首诗来阐述了数形结合的本质：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞. 数缺形时少直觉，形缺数时难入微. 数形结合百般好，割裂分家万事休. 几何代数统一体，永远联系莫分离.”数学应该坚持几何、代数的联系，坚持数字与形状相联系.

2. 数形结合思想可以用于哪些题型

（1）集合

集合是高中数学的基础内容，是学习高中数学的入门课，对于非空集合、交集、并集、补集等内容需要使用适当的数形结合思想来加以解题.使用韦恩图便是数形结合的一个重要体现.

（2）函数

函数是学习高中数学的极为重要的内容，要确定其定义域、值域时离不开数形结合;分析幂函数、指数函数、对数函数的增长趋势时也离不开数形结合.

（3）方程与不等式

高中数学是在初中数学所构建的知识体系上建立起来的. 例如y=ax2+bx+c（a≠0）可以验证出这是一条抛物线. 在学习高中数学的相关内容时，也可以通过使用数形结合的方法来确定一个方程有没有实数根，有几个实数根，其轨迹是如何变化的等等. 关于不等式的问题通过使用数形结合的方法来确定它的解集.这样的题型在高中数学中比比皆是.

（4）三角函数

三角函数也是不可缺少数形结合思想所介入分析的高中数学内容. 对于特殊角的正弦、余弦、正切的值，学生可以通过背诵的方式加以铭记. 然而对于一些非特殊角、数值较大的角，如果不能确定自身的计算结果，可以通过数形结合的方式来加以确认.

（5）向量

对于向量的加减问题也可以使用数形结合方法. 例如向量的加法问题便是“首尾相接连首尾”;对于向量的减法问题则是“同起点、连终点，方向指向被减向量”. 这都需要使用数形结合法.

（6）线性规划

线性规划问题是在题目给出的条件下通过解答出目标函数以求得函数最值的问题.在解答此类题目时也要使用数形结合方法[1].

（7）数列

数列作为一种较为特殊的函数，在解答等比数列、等差数列的前n项和的问题的时候，也可以使用数形结合的方法予以相应解答，同时也可以佐证自己所解公式正误.

（8）解析几何

几何题目包含解析几何与立体几何.其中占较大分量和比重的是解析几何. 例如研究圆、椭圆等问题时，要时刻扣住数形结合的数学思想，将几何性质与代数研究牢牢结合，通过几何性质来求出方程;再根据所求的方程来解答几何问题. 这二者相互依存，不可偏废其中一个.

（9）立体几何

解答立体几何的相关问题也可以用到数形结合思想. 数形结合可以辅助学生更好地了解点、线、面的位置关系，对于垂直、平行、相切、二面角的求证、面面垂直、面线垂直等问题有着更为直观形象的理解. 使用数形结合思想，对于一些较棘手问题，可以通过使用添加辅助性等方式，化难为易，利于解题.

3. 数形结合的本质作用

（1）化难为易

使用数形结合的本质和初衷便是使得较为烦琐艰深的数学题目变得相对简单一点，如果没有了化难为易的初衷就不会有使用数形结合的必要了[2].

（2）化抽象为具象

数形结合的鲜明特点便是使得相对抽象的数学方程、定义能够以相对具象、直观的方式呈现而出. 例如在解决函数的极大值、极小值的问题时，再求出导函数之后，就要使用到数形结合方法来加以分析、验证，这不仅有助于解答，也可以在解答的同时保证做题的正确性.

使用数形结合应注意的问题

1. 等价性原则

使用数形结合思想时，最应该把握的便是等价性原则. 所谓等价性原则指题目中出现的条件、关系，如果以外形呈现，绝不能有丝毫的偏差和背离. 培根说过数学使人精细，很大程度上便在于数学对学习者的观察能力、分析能力、运用能力都是一种考验和提升. 如果学生在赋形的过程中，扩大了题目所给的定义域、值域、对应法则等关键条件，就会离题千里.

2. 双向性原则

使用数形结合思想，应该牢记八个字“以形助数，以数解形”. 简而言之，便是学生必须使用两条腿走路. 如果只有一方面的努力和运行，就会误入歧途. 在數学题目中较为综合且复杂的题目便是需要使用运算和图形共同推进来解题的题目.

3. 简单性原则

如前文所论述，使用数形结合的本质是希望题目可以变得相对简单. 如果使用数形结合不但没有使得题目变得更加简单而是变得更加复杂，那么一定是自身的解题出了问题：可能是方程的求解出了问题，也可能是图形的呈现出了问题. 因为数形结合是解决问题而不是制造问题的[3].

4. 实用性原则

使用数形结合的目的是为了解题，而不是为了使用数形结合而使用数形结合，因此学生在使用的过程中一定要注意实用性原则，唯有符合实践的需要才要使用数形结合. 所以在某些比较简单的题目上不必非使用数形结合不可，节省时间留到较为复杂的题上.

教师和学生应该如何使用好数形结合思想

1. 针对教师

（1）夯实基础

高中数学就要以基础为本，所谓“以本为本”. 以根本为根本才能保证自己这座高中数学大厦不会倾覆倒塌. 基础不牢，地动山摇. 对于高中数学的学习，尤其要注意基础. 例如在学习三角函数的问题中，针对特殊角的函数值必须烂熟于心. 只有基础掌握得足够扎实，使用数形结合方法才能得心应手.

（2）勤加督导

教师对学生应该勤加督导.唯有大量的高质量、有针对性的练习才能使得自己的解题能力得到大的进步和提升，如果只是在头脑中领悟了数形结合而在实际中没有真正使用，那么所谓的会做题便是一句空话.

（3）加强实战运用能力

除了有意识地使用数形结合方法之外，更为重要的便是寻找高质量、有针对性的题目来勤加练习.不能只有方法而空无实践，否则变成“纸上谈兵”. 对于高质量的数形结合题目、高考中出现的经典的数形结合题目都应该勤加练习，牢牢掌握.

2. 针对学生

（1）抓住根本

高中生应该具备足够强大的知识提炼能力. 数形结合的本质便是数与形的结合. 如果没有了数、形中的任何一个，便也就没有了数形结合. 所以学生在学习数形结合解题的时候一定要抓住根本，两条腿走路.

（2）熟能生巧

英语有云：practice makes perfect.对于学习数学而言同样如此. 如果没有了高频率、高质量的练习，那么学生便不会真正掌握一个重要的知识点，也不会将此知识点投入具体的使用层面上.

（3）用心掌握

所谓“运用之妙，存乎一心”. 如果没有用心掌握、用心使用，那么所学习到的知识是僵化的、凝固的，真正掌握知识的一个明显特征便是无论题目如何改变，学生都能抓住根本. 如果学生能达成这点便是真正掌握了知识. 为了实现这个学习目标，就必须用心掌握.

小结

本文以高中的数学为内容论述了数形结合解题的定义、重要性及适用对象，同时也论述分析了使用数形结合解题时应该注意的问题以及教师应该如何培养学生的数形结合的解题意识，如何提升学生的解题能力. 同时也对学生使用数形结合解题给出了一定的建议.

参考文献：

[1]  彭再云，唐平. 数形结合思想在高考数学中的应用浅析[J]. 教育教学论坛，2013（50）.

[2]  陳飞. 数形结合在中学数学中的应用[J]. 价值工程，2013（22）.

[3]  柯爱超. “数形结合”创高效[J]. 内蒙古教育，2013（8）.