王强国

（宝应县实验小学，江苏 扬州 225800）

在数学的语言体系中，“数感”是一个非常优美的词汇，自提出以来，就受到广大教师的热捧，成为评课、说课等教研活动中的常见语。但一线的教师对于“数感”有种“朦胧”的感觉，稍加追问，明显底气不足。心理层面的认可与认知层面的不足，带来教学实践的偏颇，影响课程目标的落实，因此有必要对“数感”这一核心概念进行更为深入的探讨。

一、明晰：数感的内涵界定

1.源自“课标”的描述

教育部《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》关于“数感”的诠释是：“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”[1]

这段话未对数感内涵做解释，而是采用外延揭示的方式，从学习行为改变的视角，描述数感的表现，即理解数的意义，主要表现为五个“能”。这样的表述采用“本体论”“价值论”与“方法论”相结合的方式呈现。如“能在具体的情境中把握数的相对大小关系”，既是“数感”的表现，又是“数感”的价值，同时也可以理解为培养“数感”的途径之一。相比于广义理解的，将“数感”等同于“头脑风暴”“数学地思考”等解读，内敛许多。

教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于“数感”的表述是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”[2]

这一表述由两句话构成。第一句话是数感的界定，“数感主要是……的感悟”；第二句话是数感的功能，“建立数感有助于……”这种表述更简洁、更通俗、更符合一线教师的认知倾向。在功能描述中，两个方面，紧扣“现实生活”与“具体情境”，凸显“数学来源于生活，又应用于生活”的学科理念。从某一角度也揭示出，“数感”的培养不能空洞地说教。无论是“实验稿”还是“2011年版”的数学课程标准，对“数感”都采用描述性的定义方式，这有利于一线教师的理解与践行。

2.倾向“学术”的刻画

2011年版的数学课程标准中，对“数感”界定的核心词之一是“感悟”，“感悟”的本意是“有所触而领悟”，因此，有教者将“数感”理解为“数的感悟”，不无道理。国内也有一些学者，力图用更学术化的方式来刻画“数感”。

有学者认为：“数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的问题作出有用的策略。”“数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。”[3]

有学者认为“数感”一词的用法与“语感”“方向感”“美感”“质感”等词的用法类似，这些词语都代表了一种相关的能力，但与能力相比，又都含有一种“直感”的含义，特别是指对于某种特定的事物或现象或属性或方面的敏感性，及相关的鉴别（鉴赏）能力，而后者通常又并非是一种自觉的过程，仿佛已经成了主体的一种本能，一种直接的“感知”，从而在很多情况下甚至是说不清、道不明的。[4]

有学者认为，数感是以“数概念”在人脑中的扩展而产生的一种对数学问题的敏感。首先，数感是一种对数字（量）的直觉，并且是一种敏捷的感知，它可以在较短的时间里通过对数学的“第一印象”反应为数学问题，用数去表示量，帮助主体从感知的层面转到数学思维。其次，数感是一种具有培养性的直觉，它通过人对“数概念”的扩张和延伸而反映为对数学感知不断提升的灵敏性。最后，数感作为直感，它具有非逻辑性，非演绎性，反应时间短，稳定性差等特性。[5]

曹培英老师认为：“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。”[6]

以上观点，表述不尽相同，共性之处在于：一方面，认同“数感”是一种“意识”，“自觉”是这种“意识”的显著特征；另一方面，“数感”既有感知的成分，又有思维的成分。课标中通俗的解释与学者们趋向“学术”的刻画，两者结合，使我们对“数感”有更为全面、深刻的认知。

二、审视：数感的培养误区

一线教师历来注重数的感悟，实践中也常见一些精彩的做法。虽没有“数感”一词，但对其背后的本质，是有所把握的。自引进这个概念后，在寻找新的表现形式与新的教学对策时，有时会被新包装迷惑，盲目“摸着石头过河”，带来实践的偏颇。

1.先“估”再数的泛滥

在教学实践中，先“估”再数一度成为引入数概念教学的“标配”。诚然，估算在日常生活中有着广泛的运用，也是展现和提升学生“数感”的途径之一。但在以“数感”培养为指向的教学中，“估”的时机需要慎重选择。因为“估”需要学生具备一定的能力、经验等基础，也需要一定的训练，否则只能是凭空“乱猜”。因此，不考虑学生的实际，一味地先估一估，再数一数，值得反思。如苏教版数学教材（二年级下册）“1000以内数的认识”教学。引入时，教者出示一叠厚厚的A4纸，“同学们，大家来估计一下，这叠纸有多少张？看看谁估计得最准？”学生很兴奋，纷纷说出自己的“猜想”，有100张，有150张，有300张，最多者估计有500张。教者揭示答案“1000张”，引得学生一片惊呼声。为什么学生“不靠谱”？因为学生没有这个能力，事实上，即使一个成人，经常接触纸张（书籍等），但面对教者出示的这叠纸，也未必能估计出结果。因此，在教学数概念前，上述活动更实在的价值应该在于制造“悬念”，激发学生探究兴趣，至于“数感”培养则有些虚幻。

2.为“量”所困的沉溺

数是量的共同属性的抽象与表征，高等数学领域中“数感就是数量意识”，数和量可以混为一谈，比如，变数与变量是同义词。但在小学数学教学中，数和量却是两个既有联系又有区别，并且常常不能不加以区分的概念。正如在中学数学中，分数可以看作小数，而在小学数学中，它们是两个不同的概念。上海大世界吉尼斯纪录活秤王何成法，经营鱼生意，让顾客称奇的是，每次指着一条鱼问他有多少重，他用手摸上一把，掂一掂，误差只在3钱到5钱之间。这里，何师傅展示出的，确切说不是“数感”极佳，而是“量感”超人。两者混淆，是“数感”培养中常见的误区。当然，现实世界中，没有抽象的数，有的都是数与量的结合体，“数感”培养难免涉及量，并且生活中，“数感”又通常表现为观察事物时的数量意识，或者反映为自觉地联系量，将数与具体事物联系起来。[7]这个案例在提醒我们，“数感”的培养，不能过渡地依赖量。换个角度思考，无论整数、分数还是小数都可以带单位表示数量，也可以不带单位表示两个数量间的关系，即有量纲与无量纲并存。因此，“数感”的培养并非只有“联系量”一条途径。

3.学“用”背离的教条

在具体情境培养学生的“数感”，是一条有效的路径。一方面，有利于学生充分运用已有的知识经验，自主建构与理解；另一方面，也有利于学生感知数学与生活的密切联系。在情境设置中，需要我们适当地改造，以利于学生的“数学化”。一线教师在“数感”的培养中，常常截取生活中的素材，改造时会忽略情境本身的真实性，步入学用背离的误区。如苏教版数学教材（四年级下册）“认识整万数”教学。练习阶段，教者安排一个估人民币的活动，情境如下：张叔叔购买一辆价值100万的跑车，他手中捧着的这堆钱够吗？在出示张叔叔手捧整捆百元人民币（遮盖着）的图片基础上，依次出示100元单张、10 000元一叠，供学生参考，效果不佳，又出示100 000元一捆的图片，此时，多数学生估计到张叔叔手中的钱不到100万，教者揭示谜底，只有80万，然后添上两捆，正好100万。整个教学设计没有问题，但不禁要问：信息化的今天，支付的方式有多种，使用巨额现金支付的少之又少，这样的“数感”有人需要吗？

三、建构：数感的培养对策

小学生“数感”发展可划分为三个阶段，即数觉阶段、符号阶段、模型阶段（史宁中语），与之对应的课程内容分为三个学段，第一学段（一、二年级），第二学段（三、四、五年级），第三学段（六年级）。[8]教学实践中，不妨着眼于以下三个方面：

（一）在认数的过程中形成“数感”

1.数出“数感”

数数是数概念教学中常见的环节，也是培养学生“数感”的基本策略。这里的数数区别于课堂中的“念数”，需要借助学生熟知的直观具体的实物，从视觉上感受被数物体与数的一一对应。看似简单的过程，蕴含丰富的教学内涵。首先，在数数的过程中，要重视引领学生感知数的两种形式。即基数和序数形式，基数形式的确立有助于学生明白已数物体的总个数，正着数和倒着数两种数法并进，有利于学生理解数数与加减法之间的联系，比如桌面上有5个苹果，从1数到5，接着5再数一个是6个，相当于5个加上1个；反过来从5倒数一个数是4，相等于5个减去1个。序数形式即数字在计数顺序中的位置，它有利于学生理解数与数之间的联系，教学中可以结合学生的排队等情境加以理解。比如从前往后数，某个小朋友排在第六个，那么他前面一共有5个小朋友，前面一个排在第五，后面一个排在第七。其次，要注重“载体”的选择。数实物离不开“量”，培养学生的“数感”，不宜选择特殊的量，比如，小小的豆、薄薄的纸等，有的不常见，有的难以感知。精心的选择，可以排除“量”的干扰。如苏教版数学教材（一年级上册）“认识10以内的数”教学。教者将3个△、3个○、3颗☆放在一起比较，让学生发现虽然表示的物体不同，但数量都是“3”，在此基础上，进一步追问“3”还可以表示哪些物体？这里选取的“△”“○”“☆”的量感，学生是有一定基础的，无须格外的关注。

2.读出“数感”

数的读法有其通用的法则，比如从高位读起，以及中间、末尾有0的区别对待等。一线教师在教学中，关注的重点往往是法则的遵从与否，即学生读得对不对，而忽略了读数的“数感”功能。在数概念的教学中，教者匠心的处置，读数也可以读出“数感”。如苏教版数学教材（二年级下册）“认识万以内的数”教学。练习环节，教者出示题组：（1）“2356”读作（）千（）百（）十（）；（2）“2356”由（）个千，（）个百，（）个十和（ ）个一组成；（3）“2356”=（ ）×1000+（ ）×100+（）×10+（）。三道习题本质是一回事，掌握读法的情况下，可以解答。但稍加比较会发现三道题的难度系数在逐题增加，一题比一题更抽象、更形式化。事实上，只要基于学生的理解，当学生知道读的是什么，就可以读出“数感”，而且是脱离“量”的抽象的“数感”！读数需要提炼通则、通法，但有时还可以适当地“通融”。再如“1/3”读作“三分之一”，读出了分数的意义，有教者跟进一步：“同学们，也可以理解为三分之一。”“数感”更强烈。语言是思维的外壳，当思维充斥着读数法则，读后又不思考读了什么，那么读数的语言就只是法则的外壳了。

3.看出“数感”

作为对数的一种感悟——数感，虽有一定的思维成分，但更应该是一种“第一”或者类似“直觉”的反应。因而，“数感”也是可以看出来的。教学中，需要借助直观教具的实物图，并且这些实物图是学生熟知的、有相对固定的模式的。如苏教版数学教材（二年级下册）“认识千以内的数”教学。教材中安排的“立方体模型”和“珠像”以及“小棒”，都有这样的功能。

实践证明，“万以内数的认识”，联系生活实际（现实情境中的量）与借助几何直观发展学生的“数感”都是有效的策略。而对于更大的数如“亿”的认识，则主要依靠对已有数概念的认知以及十进制的理解，借助推理形成概念，发展“数感”。

（二）在运算的过程中建立“数感”

1.估出“数感”

“数感”与“估算”都具有一种“模糊性”，两者关系密切。一方面“数感”的培养需要学生具有一定的“估算能力”；另一方面，有效的“估算”又需要学生的“数感”来支撑。这也从一个角度解释了实践中教者对“估算”的情有独钟。因而，在适当的时机，巧妙的引导，“估算”也是培养学生“数感”的方式之一。如苏教版数学教材（五年级下册）“异分母分数的大小比较”教学。练习中，教者出示这样的情境：甲、乙两车同时从A地出发前往B地，3小时后，甲车行了全程的2/3，乙车行了全程的3/7，哪辆车的速度快？在同样的时间内，行驶路程长则速度快，因此，情境中考查的是这两个分数的大小比较，学生纷纷进行通分，并比较得出结论，教者引导：“如果不通分，你能估计出哪辆车的速度快吗？”短暂的沉默，学生回答：“2/3大于1/2，也就是甲车超过了中点，而3/7不到1/2，乙车还没有到达中点，所以甲车快。”教者进一步追问：“你们怎么知道2/3大于1/2，3/7不到1/2的……”1/2即一半，这个“数感”学生是有的，有了这个标准进行比较就能做出正确的判断。这个案例也提醒我们估算需要一定的标准作为参照物，只有与一定的标准做比较，估出的结果才能落在合理的区间。

2.算出“数感”

运算教学是培养、发展学生数感的主要途径。“数的运算”的过程往往就是学生巩固、发展“数感”的过程。需要教者帮助学生在计算与计算之间、计算与出现的特殊数字之间建立联系。[9]如苏教版数学教材（一年级下册）“100以内的加法（一）”教学。出示：25+26、39+17、12+35，根据相关的计算结果和数字联系，每道题都可以应用不同的计算策略，第一题根据已有事实“25+25=50”得出25+26=51；第二题可以转化为40+16；第三题可以拆分为“10+30+2+5”的数字组合。在乘除法的计算中，这样的教学案例也时常出现。如“45×101”，学生会自然想到101个45就是100个45加上1个45，即：45×101=45×100+45，联系乘法的意义以及乘法分配律，能思考得出简洁的算法。此外，运算中，对于一些数字的转化，也成为培养学生“数感”的有力支撑。如0.25=1/4=25%，有了这样的认知，学生在遇到诸如15÷25%时，就会自动地转化为15÷1/4=15×4=60。相比标准化的计算程序，这种依据“数感”选择的计算方法更有效。

3.推出“数感”

这里的“推”是指基于计算的“推理”。教学中，对于小数量的物体，学生容易留下深刻印象，并建立概念。当数目越来越大时就难以把握了，一方面我们无法为学生提供那么多的实物，学生得不到视觉上的感知；另一方面，培养学生的推理能力也是数学学科的基本思想方法之一。多向的推算想象是建立大数数感的有效方法。如苏教版数学教材（四年级下册）“一亿有多大”教学。活动安排：数一亿本练习本大约需要多长时间？教者先让学生数出100本练习本大约用了90秒，然后计算出数1万本练习本大约需要90×100=9000（秒），数一亿本大约需要9000×10000=90000000（秒），最后通过计算器将“秒”换算成“年”：90000000÷60÷60÷24≈8.56（年）。接着教者让学生通过计算得出一亿枚硬币摞在一起大约有150000米，一亿粒米大约重2500千克等，博得学生一阵阵的惊呼声，但稍加思考，便会发现，这些都无法帮助学生建立一亿的“数感”，犹如语文中的比喻误区，用另一种抽象的事物比喻当前的抽象事物。真正能留在学生记忆中的关键性支撑是“一万个万是一亿”。这也揭示出直观作用的阶段性，以及适时抽象、推理的必要性。

（三）在问题的解决中发展“数感”

1.联系实际，用出“数感”

小学数学中的实际问题都会涉及数，因此，在学生综合运用已有知识经验解决实际问题的过程中，“数感”常常自然地表现。如苏教版数学教材（三年级下册）“两位数乘两位数”复习。教材中有这样一道习题，如图1：

图1

张华从学校出发，走了15分钟，每分钟走70米。

（1）如果向东走，现在在少年宫的东面还是西面？

（2）如果向北走，大概走到了哪个位置？在图中用“▪””表示出来。

学生计算得出张华15分钟一共走了70×15=1050（米），而要正确地标注，需要进行这样的判断：1050比1000多一点；1050比2000的一半多一点。在这样的思考过程中，不用考虑1050米、2000米到底有多长，作为单位的米，如果换作其他单位，仍然基于上述的判断，这是“数感”“自动化”的反应。习题设置巧妙地摆脱了“量”的干扰，呈现出单纯的“数感”。

2.专项训练，练出“数感”

教学中，一些关于数量关系的专项练习，也有练出“数感”的功能。如苏教版数学教材（六年级下册）“稍复杂的应用题”复习。教者出示：王大爷家有白兔36只，____，灰兔有多少只？（你有不同方法吗？）要求学生根据这些信息，补充一个条件，求出灰兔有24只。这道开放题为学生提供了广阔的思维空间，不同学生的答案也显示出“数感”的不同层次。生1：“灰兔比白兔少12只”，类似答案“白兔比灰兔多12只”；生2：“灰兔比白兔的一半多6只”，类似答案“白兔比灰兔的两倍少12只”；生3：“灰兔的只数是白兔的，类似答案“白兔只数是灰兔的生4：“白兔只数比灰兔多，类似答案“灰兔只数比白兔少生5：“白兔只数与灰兔只数的比是3:2”，类似答案“灰兔只数与白兔只数的比是2:3”……这里同样摆脱“量”的束缚，既培养了学生的“数感”，也练习了不同类型的实际问题的解题方法，一举多得。事实上，即便是解决脱离现实背景的数学问题，也常常会用到“数感”，如，求两个数的最大公因数、最小公倍数等，激活“数感”的过程也反作用于“数感”的提升！▲