李建英

[摘  要] 有效的教学设计能引发学生深入思考，感悟数学的价值，文章以“有理数的混合运算”为例，阐述基于“学为中心”的教学理念中教师应当承担课堂的组织者和合作者，帮助学生优化认知结构，凸显教育价值，通过内化提升和拓展应用加强对知识的内化感悟，最终达到“教是为了不教”的目标.

[关键词] 学为中心;教学设计;数学价值

从传统数学的三大能力到2011版数学新课标中的十大核心概念直至十九大提出的六大核心素养，都把运算能力放在至关重要的地位. 从自然数的运算到有理数的混合运算，然后到实数运算、代数式的运算、方程、不等式、函数逐级上升，有理数的运算是数学运算的基础，有理数的混合运算的学习是否夯实决定了学生的后续数学成就. 只有经过精心设计的课堂才能对学生的发展产生深远的影响.

基于“以学为中心”的教学理念促使教师将研究方向从“教师如何教”转变为“学生怎样学”，教学设计应体现学生独立思考、合作探究、交流呈现、启发思考等环节，让学生能主动学、学会学、自能学培养. 笔者以“有理数的混合运算”的教学设计为例，让学生在自主发现并理解算理的前提上根据法则和运算律正确地进行运算，在合作探究的过程中循规不蹈矩地寻求合理简洁的运算途径，以便解决问题.

教学背景分析

1. 教材分析

从自然数的运算到有理数的混合运算，然后到实数运算、代数式的运算、方程、不等式、函数……运算逐级上升，有理数的运算是数学运算的基础. 本节课是建立在数系扩大、运算符号增加后运算顺序的形成.

2. 学情分析

七年级的学生对加、减、乘、除运算较为熟悉，加入乘方后，对它们之间的本质联系并不清晰，即使是小學的四则运算也更多是意识同化下的认同心理，通过几组形式上类同的练习，通过比较，感受运算之间的联系，让学生内化理解运算法则.

3. 教学目标

（1）理解并掌握有理数的混合运算的法则.

（2）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.

（3）能运用有理数的运算解决简单的实际问题.

重点：准确掌握有理数运算的顺序和运算中的符号问题.

难点：拓展应用中文字量大，信息多.

教学过程片段

1. 优化认知

在寻找法则的环节中，首先利用幻灯片出示三道计算题：

（1）（5-8）+（5-8）+（5-8）-18;

（2）（5-8）×3-2×3×3;

（3）（5-8）×3-2×32.

教师：请同学们完成这三道题目，并观察题目之间的联系.

学生1：第（2）小题就是将第（1）小题中的加法变为了乘法.

学生2：第（3）小题是将第（2）小题中的3×3打包成了32.

教师：“打包”一词用得极好，既然乘方是乘法的打包运算，乘法是加法的打包运算，一般来说，我们在进行有理数的混合运算时采用什么样的运算顺序呢？

众生：先算乘方，再算乘除，最后算加减.

教师：如果有括号呢？

众生：先算括号里面的.

教学分析 利用题组间的联系，将数学运算从一级诠释“乘法是加法的打包运算”到二级诠释“乘方是乘法的打包运算”，逐层诠释有理数混合运算的规则. 从学生的最近发展区入手，让学生相信规则是对的，而不是权威引导下的顺从心理，将规则内化为学生自有的知识，以此优化认知结构，提升学生的数学素养.

2. 凸显价值

教师：请同学们独立完成以下两题：（1）-62×

--23;（2）÷-×（-9）2+32.

教师在巡视的过程中利用同屏技术将学生的错误拍下展示. 学生1错将-62看成了（-6）2;学生2通分时发生了错误;学生3错把23算成了6;学生4运算第2小题时错把-先算. 请其他学生一一指出同伴们的错误，并给出正确的解答过程.

教师：请全部做对的同学来谈一谈你在做题时有什么心得？

学生1：我是先观察题中有哪些运算，想好了先算什么，其次算什么，最后算什么才开始动笔的.

教师：你讲得非常好，就是我们在运算时应通盘考虑，确定顺序. 运算运算，同学们应先注重运作再来进行计算，也因为在大家的生活中计算可以借助计算器，而运作则是人工智能的问题了，这也是我们学习数学的重要意义. 还有同学有不同的想法吗？

学生2：我觉得做计算题一定得仔细一点.

教师：的确，正所谓“一着不慎满盘皆输”，我们的运算过程中只要有一个地方错了，那整道题目都错了，所以我们在运算中应时刻警醒自己，处处有风险意识.

学生3：我们要辨清楚乘方的底数是什么，就像-62与（-6）2.

学生4：在第（1）小题中，我有不同的解法，我们可以利用分配律来解题，这样会更方便.

教师：大家同意吗？我刚才讲到我们要按规则办事，但同时我也希望同学们能循规不蹈矩，能运用运算律简化运算.

教学分析 首先展示错误的示范，给学生警醒和提点，给出运算的重要策略：通盘考虑，确定顺序，逐渐让学生将运算规则渗透到内心. 通过其他学生的正确解题揭示《有理数混合运算》的三个教育价值：（1）规则意识的形成;（2）风险意识的提升;（3）灵活思维的培养. 这不仅是学生学习数学的必备条件，更是作为现代社会合格公民适应社会发展需要的必备品格和关键能力，其教育价值不言而喻.

3. 内化提升

在内化提升的环节中，教师采用了一组辨一辨的题型：

“小红做的下列计算是否有错？如有错，请说出错误原因并改正.

（1）23÷3×=8÷1=8;

（2）-14-6÷

-=1-（4-9）=6;

（3）

12-（-2）3=1+6=-4.

接着采用以下三个环节落实教学目标，提高计算正确率.

环节1：独立完成并思考错误的原因.

环节2：根据学生的完成情况，以小组合作的形式，在组内进行交流，已经找到错误原因的同学在组内进行分享，对比与同伴的观点是否一样.

环节3：组长记录组员的想法、错误的原因，并以组为单位给小红以及会犯这些错误的同学们提一些建议，在有理数的混合运算中应注意什么？

学生1：第一道题的话，乘方算好之后是同级运算，应该从左到右算.

教师：也就是说虽然3×的诱惑很大，但我们也应该按运算顺序来.

学生2：第二道题目的话，应该是14的相反数，正确答案应该是-1. 后面6÷

-不能使用分配律，应该先算括号内的.

学生3：第三道题目的话，带分数遇到乘方先将其化成假分数. 另外（-2）3应该等于-8.

学生4：1+6=-4这个运算也是错误的.

教师：刚才各个小组提出的原因大家都同意吗？接下来能不能给小红同学一些建议呢？

学生5：我们组给小红的建议是上课要认真听讲，公式不能死记硬背，审题要仔细，要多做一些计算题，帮助自己计算过关.

教师：你提的建议真好，我们在学习每一学科的任何知识点时都应该认真.

学生6：我们在解题时应弄清运算顺序，不要瞎做.

教师：没错，我们要有规则意识. 先运作再计算.

学生7：不要把运算律乱用，没有除法分配律的情况，分配律只能用于乘法.

教师：嗯，也就是除号后接括号时应先算括号内的.

学生8：带分数运算时应先化为假分数.

教师：大家总结了这么多注意点，老师给大家总结了一首有理数混合运算三字经：有理数，混合算，定法则，顺序算;遇乘方，辨底数，带化假，明正负;遇除法，看括号，括跟后，要先行.

教学分析 数学知识应该是学生自己通过活动获得的而不是教师给予的. 利用小组合作的方式培养学生之间团结协作的精神，通过小组讨论+展示激发学生课堂的积极性和学生参与度，更好地展示学生的风采.

4. 拓展应用

本节课的难点是一道实际应用题：底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱体水桶中倒满了水. 小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3 cm、高为5 cm的圆柱形水杯，再把剩下的水倒入长、宽、高分别为50 cm、20 cm、20 cm的长方体容器内，长方体容器内水的高度大约是多少厘米？（底面半径为10 cm、高为30 cm的圆柱体水桶中倒满了水. 小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3 cm、高为5 cm的圆柱形水杯，π取3，容器厚度不计）鉴于这道题的文字量太大，情境较复杂，对初一的学生具有比较大的难度，因此我对例题进行了如下处理，首先给出问题情景：底面半径为10 cm、高为30 cm的圆柱体水桶中装满了水. 另有两个底面半徑为6 cm、高为30 cm的圆柱形空容器，把水桶中的水倒入两个圆柱形空容器，你认为这两个圆柱形空容器能倒满吗？

教师：同学们在这个情境中找到了哪些信息？

学生1：我知道有一个大的圆柱形水桶，它的底面半径为10 cm，高为30 cm，我们把这个水桶中的水倒入两个底面半径为6 cm、高为30 cm的圆柱形空容器，问是否能够倒满.

教师：你认为两个圆柱形空桶能否倒满与什么量有关？

学生2：就是看大桶里的水的体积是否大于两个空容器的体积.

教师：先请大家直观感觉，你们觉得能装满吗？

学生3：我认为是可以装满的. 因为两种容器的高度相同，暂且不看. 大容器的底面半径是10 cm，则底面面积是100π cm2，而两个小容器的底面积之和是72π cm2，100π cm2>72π cm2，所以不仅能装满，还能有剩余.

教师：我们都要为你的智慧鼓掌！那你可以用一个算式表示出剩余的水的体积吗？

学生3：102π×30-62π×30×2.

教师：同学们计算之前先观察运算，里面包含了哪些运算？这不就是我们今天学习的有理数的混合运算吗. 所以有理数的混合运算可以将小学中常用的一个个独立的算式结合成一个算式. 既然水多出来了，老师再给大家一个长方体容器，长、宽、高分别是20 cm、30 cm、30 cm，你还能提哪些新问题呢？先独立完成，然后小组交流.

学生1：两个小圆柱内的水能倒满长方体吗？

学生2：大圆柱内剩余的水能倒满长方体的吗？

教师：你的问题非常有趣？为什么你不再问大圆柱内剩余的水能倒满长方体而是长方体的呢？

学生2：因为看图就很明显，剩余的水肯定不能倒满长方体容器了.

教师：哇！其实你已经用到了初中数学学习中非常重要的能力——直观想象.

学生3：把剩余的水倒到长方体容器中，水位有多高？

教师：接下来请同学们以小组为单位解决刚才提出的问题.

教学分析 将实际问题以阶梯式的形式展开，降低了例题的难度，让更多的同学不畏惧，有信心继续探索后续的问题. 在第二问中开放性的问题能驱动学生深入思考，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，让提出问题的学生在学习的思维上螺旋上升. 同时，让学生自己来解决同伴提出的问题，更具成就感和荣誉感.

教学反思

1. 创设情境，激发兴趣

教材编者的安排是从生活现实出现，通过计算花坛中种花的面积来展开学习. 这种从具体生活情境展开的学习或许更能激发学生的学习兴趣，也更加将数学与生活联系在一起. 但这样设计就不能帮助学生梳理运算之间的联系，如何将两者兼顾仍有待思考.

2. 学为中心，渗透方法

新时代的课堂应把“教为中心”转变为“学为中心”，让学生能主动学、学会学、自能学. 所以课堂实践中教师应组织、引导和帮助学生学习，做学生学习的推动者和促进者. 课堂中的各环节均采用“小组合作”“独立学习”两种模式展开，过分强调运算的规则，因此对于学生运用运算律进行简便运算有所疏忽，如何让学生在遵守规则的情况下又不墨守成规，仍有待加强.

3. 凸显价值，培养素养

数学教育的价值不仅仅能让学生解对一道题，考好一次试，是培养他们具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力. 很多优秀的品质就在教师优化教学设计，学生逐渐积淀、内化的过程中养成. 因此我们在平时的课堂中应研究数学与生活、数学与德育之间的联系，做好学生的引路人.