一、选择题

1.C

2.C

3.D

4.B

5.C 提示:如图1所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,易知AB1,AD1与底面A1B1C1D1所成的角都为45°,但AB1与AD相交,故选项A错误。

图1

设E,F,P,Q分别是棱AA1,BB1,CC1,DD1的中点,点A,B,A1到面EFPQ的距离相等,但平面ABB1A与平面EFPQ相交,故选项B错误。

平面ABB1A1⊥平面ABCD。平面ADD1A1⊥平面ABCD。但平面ABB1A1与平面ADD1A1相交于A1A。故选项D错误。

6.D 提示:如图2所示。

若A1A为b,CD为a,BC为c,而a,c不异面,所以①不正确。

若A1A为b,AB为a,A1B1为c,而a∥c,所以②不正确。

若A1A为b,AB为a,AD为c,而a⊥b,a⊥c,b⊥c,且a与c相交,所以④不正确。

由异面直线所成角的定义或等角定理知③正确。

图2

图3

7.B 提示:如图3所示,m是α的斜线,PA⊥α,l⊂α,l⊥AB,则l⊥m,α内所有与l平行的直线都垂直于m,所以A错误；由图知过m有且仅有一个平面PAB与α垂直,假设有两个平面都与α垂直,则这两个平面的交线m应与α垂直,与条件矛盾,所以B正确；又lˊ⊄α,lˊ∥l,所以lˊ∥α,因为l⊥m,所以lˊ⊥m,所以C错误；又在平面α内取不在直线上的一点D,过D可作平面β与平面PAB平行,所以m∥β,因为平面PAB⊥α,所以平面β⊥α,所以D错误。

8.D

9.D

10.C

11.A

12.D

13.D

14.B 提示:如图4所示,建立空间直角坐标系D-xyz,A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),所以异面直线

图4

15.C 提示:取BC的中点D,在正三角形ABC中,AD⊥BC,在正三棱柱中,CC1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD,所以AD⊥平面BCC1B1,所以∠AC1D为AC1与平面BCC1B1所成的角,设AB=,AC1=2,所以

16.D

17.D

图5

18.C 提示:如图5所示,分别作两条与二面角的交线垂直的直线,则∠1和∠2分别为直线AB与平面α,β所成的角。根据最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,所以∠ABO＞∠2。因为∠ABO+∠1=90°,所以∠2+∠1≤90°。

19.D

20.C 提示:如图6所示,在正四面体P-ABC中,因为D,F为中点,所以BC∥DF,所以BC∥面PDF,故选项A成立。因为AE⊥BC,所以AE⊥DF。又BC⊥PE,所以BC⊥面PAE,DF∥BC,所以DF⊥面PAE,故选项B成立。又DF⊂面ABC,所以面PAE⊥面ABC,故选项D成立。由上知,不成立的是选项C。

21.B

22.C

23.A

图6

24.A 提示:如图7所示,过点A作AC⊥l于点C,过点A作AD⊥β于点D,易证∠ACD=45°,连接BD,则∠ABD为所求线面角。设BC=a,则AC=a,AB=∠ABD=30°。

图7

25.C

26.B 提示:①如图8所示,由平面ABC∥平面MNP,可得AB∥平面MNP。

④如图9所示,由AB∥CD,CD∥NP,得AB∥NP,所以AB∥平面MNP。

图8

图9

27.C 提示:正三棱锥的对棱互相垂直,即AC⊥SB。又SB∥MN,且MN⊥AM,所以SB⊥AM,从而SB⊥面SAC。所以∠BSA=90°,以S为顶点,将三棱锥补成一个正方体,故球的直径2R=3·SA,即R=3,所以S=4πR2=36π。

28.C 提示:依题意得MN∥PQ,MN∥平面ABC。又MN⊂平面ACD,且平面ACD∩平面ABC=AC,因此有MN∥AC,AC∥平面MNPQ。同理,BD∥PN。又截面MNPQ是正方形,因此有AC⊥BD,直线PM与BD所成的角是45°。

二、填空题

30.4π

31.4

32.平行

33.90° 提示:取BC的中点为E,连接AE,DE,则∠AED为二面角A-BC-D的平面角,在△AED 中,AE=2,DE=2,AD=2,从而∠AED=90°。

35.①②③⑤

36.8π 提示:设外接球的半径为r,则(2r)2=12+(3)2+22=8,故r2=2。所以S球=4πr2=8π。

37.90°

图10

图11

图12

41.①②③④

43.②③④ 提示:A1B1∥AB,点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离等于,①错误；直线BC与平面ABC1D1所成的角就是∠CBC1=45°,②正确；空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影分别是正方形和直角三角形,而三角形的面积是,③正确；AE与DC1所成的角为∠EAB1,AE④正确；过点A向BD1作垂线交BD1于点F,连接CF,AC,则∠AFC即为所求二面角的平面角,因为AF=AC=

三、解答题

44.轴截面如图13所示,设圆柱的高为h,由圆锥的平行于底面的截面性质得以h=3(1-R),V=πR2h=3πR2(1-R)≤

图13

45.(1)因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AC=AD=a。

在△SAB中,由SA2+AB2=2a2=SB2,知SA⊥AB,同理SA⊥AD。所以SA⊥平面ABCD。

(2)连接BD,设BD与AC交于点O,连接OP,点O显然平分BD,取SP的中点为M,因为SD=3PD,所以SM=MP=PD,所以BM∥OP。因为BM⊄平面PAC,所以BM∥平面PAC。同理,ME∥平面PAC。因为BM∩ME=E,所以平面BME∥平面PAC。又BE⊂平面BME,故BE∥平面PAC。

图14

46.(1)如图14,过点M作ME∥CD交PD于点E,连接AE。EM。又EM∥DC∥AB,所以EMAN,所以AEMN为平行四边形,所以MN∥AE,所以MN∥平面PAD。

(2)过点N作NQ∥AP交BP于点Q,NF⊥CB于点F,连接QF,过点N作NH⊥QF于点H,连接MH,易知QN⊥面ABCD,所以QN⊥BC。而NF⊥BC,所以BC⊥面QNF,所以BC⊥NH。而NH⊥QF,所以NH⊥平面PBC,所以∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角,通过计算所以所以=60°。所以直线MN与平面PCB所成的角为60°。

47.(1)建立如图15所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别为又点A,M的坐标分别为NE与AM不共线,所以NE∥AM。又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE。四边形EMC1G是平行四边形,所以EG∥C1M。又因为EG⊄平面FC1C,C1M⊂平面FC1C,所以EG∥平面FCC1。

图15

(2)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD= ∠ADC=90°,所以 AD⊥ 平面DD1C1C。又因为EG∥平面FCC1,AB∥平面DD1C1C,B1B∥平面DD1C1C,所以

48.(1)取棱BB1的中点M,连接EM,C1M。因为E为棱AA1的中点,G为棱C1D1的中点,且AB=AD=1,CD=CC1=2,所以在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,EM∥A1B1∥

(3)在平面AA1B1B内过点F作FN∥AB,交棱AA1于点N,连接DN。在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因为AB⊥平面AA1DD1,所以FN⊥平面AA1DD1,所以DN是DF在平面AA1DD1内的射影,所以当D1E⊥DF时,D1E⊥DN。

在矩形AA1DD1中,DE=D1E=2,DD1=2,所以D1E⊥DE,所以点E和点N重合,所以F是棱BB1的中点,且FE∥C1D1,所以平面EFD1即为平面EFC1D1。

在直角梯形ABCD 中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=1,CD=2,所以CB=2,CF=3。

设点C到平面EFD1的距离为d,CF与平面EFD1所成角为θ,因为DE⊥D1E,C1D1⊥DE且C1D1∩D1E=D1,所以DE⊥平面EFC1D1。又因为CD∥平面FCC1,所以d=DE=2,所以所以EFD1所成角的余弦值为

49.(1)在△BAD中,因为AB=2AD=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=3,所以AB2=AD2+BD2,所以AD⊥BD。

在直平行六面体中,GD⊥平面ADG,所以GD⊥BD。又AD∩GD=D,所以BD⊥平面ADG。

(2)以D为坐标原点,建立如图16所示的空间直角坐标系D-xyz,因为∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,则有A(1,0,0),B(0,3,0),G(0,0,1),E(0,3,2),C(-1,3,0)。所以=(-1,3,2),=(-1,0,1)。

图16

图17

51.在折叠前的△ABC中,设BD=x(0＜x＜3),则CD=3-x。

由AD⊥BC,∠ACB=45°,知△ADC为等腰直角三角形,所以AD=CD=3-x。

由折叠前AD⊥BC知,折叠后,AD⊥DC,AD⊥BD,且BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC,∠BDC=90°,所以,当且仅当2x=3-x,即x=1时,取“=”。故当BD=1时,三棱锥A-BCD的体积最大。

52.(1)连接BD,四边形ABCD是菱形,因为∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形。

又Q为AD的中点,所以AD⊥BQ。因为PA=PD,Q为AD的中点,AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,所以AD⊥平面PQB,AD⊂平面PAD,所以平面PQB⊥平面PAD。

(2)连接AC交BQ于点N,如图18所示,由AQ∥BC可得△ANQ∽⊂平面MQB,PA⊄平面MQB,所以PA∥平面MQB。

图18

(3)因为PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,所以PQ⊥AD。

又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD。

以Q为坐标原点,QA,QB,QP所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图19所示的空间直角坐标系,则各点坐标为A(1,0,0),B(0,3,0),Q(0,0,0),P(0,0,3)。

图19

53.(1)如图20所示,连接D1C,因为ABCDA1B1C1D1是长方体,所以A1D1∥BC且A1D1=BC。

所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C。

因为A1B⊄平面CDD1C1,D1C⊂平面CDD1C1,所以A1B∥平面CDD1C1。

(2)设A1A=h,因为几何体ABCD-

图20

所以A1A的长为4。

(3)如图20所示,连接D1B,设D1B的中点为O,连接OA1,OC1,OD。

因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以A1D1⊥平面A1AB。

因为A1B⊂平面A1AB,所以A1D1⊥D1B。同理OD=OC1=

所以OA1=OD=OC1=OB。

所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O。

因为D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24。

故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24π。