■江苏省沭阳高级中学

本文针对圆锥曲线中常见的易错、易混、易忘的典型问题进行错解剖析和警示展示,希望能引起同学们的高度重视。

易错点一、忽略圆锥曲线定义中的隐含条件

例1 已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a的值为3和5时,点P的轨迹分别为( )。

A.双曲线和一条直线

B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条直线

D.双曲线的一支和一条射线

错解：依题意得 F1F2=10,当a=3时,2a=6＜ F1F2,故点P的轨迹为双曲线；当a=5时,2a=10=F1F2,故点P的轨迹为一条射线。故选B。

剖析：错解忽略了双曲线定义中的隐含条件“到两定点距离差的绝对值小于两定点间的距离”,依题意得 F1F2=10,当a=3时,2a=6＜ F1F2,且PF1-PF2=6＞0,点P的轨迹为双曲线的右支；当a=5时,2a=10=F1F2,故点P的轨迹为一条射线。故选D。

警示：注意椭圆、双曲线和抛物线定义中隐含条件的限制。

易错点二、忽略椭圆标准方程=1中的隐含条件a2≠b2

剖析：错解忽略了椭圆标准方程中a＞0,b＞0且a2≠b2这一限制条件,当a=b＞0时表示的是圆的方程。6＜k＜8且k≠7,则实数k的取值范围为(6,7)∪(7,8)。

警示：准确理解椭圆的定义,明确椭圆标能减少解题过程中的失误,从而保证解题的正确性。

易错点三、忽略椭圆或双曲线焦点所在位置的讨论

警示：在确定椭圆或双曲线的标准方程时,一定要注意焦点所在的位置,当位置不确定时要分类进行讨论。

易错点四、参数法求动点轨迹方程忽略“完备性与纯粹性”

例4 已知曲线C:y=x2-2x+2和直线l:y=kx(k≠0),若C与l有两个交点A和B,求线段AB中点的轨迹方程。

剖析：消元过程中,由于两边平方,扩大了变量y的取值范围,进而扩大了x的取值范围,故应对x,y加以限制。在错解的基础

结合③④消参且探究参数的取值范围进而确定x,y的取值,则有x＞2,y＞2。

所以所求轨迹方程是x2-y2-x=0(x＞2,y＞ 2)。

警示：若动点P(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程的方法叫作参数法。参数法在求曲线方程时一定要合理选择参数且研究参数的范围对横、纵坐标的限制作用,这样求得的方程可保证它的“完备性”和“纯粹性”。

易错点五、最值求解中忽视圆锥曲线自身范围的制约

剖析：错解中“当大值”这一步的推理是错误的,没有考虑椭圆方程中y的取值范围,事实上,由于点(x,y)在椭圆上,所以-b≤y≤b,因此在求d2的最大值时,应分类讨论。

警示：求解圆锥曲线中的最值问题,应准确把握圆锥曲线的几何性质,构建目标函数化归二次函数在区间上的最值,借助对称轴和区间的关系合理分类是正确解题的前提,应做到步步有依据,这样才能避免出错。