■河南省南阳市镇平县第一高级中学

考纲解读：解析几何中的定点、定值及探索性问题往往以解答题的形式出现,是高考解析几何命题中的考查重点。此类问题,一般以椭圆或抛物线为背景,深入考查直线、圆、圆锥曲线及直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识。试题难度较大,不仅要掌握好基本知识点,更要在解题思路方法上多加总结。代数方程是解题的桥梁,注意数形结合、分类讨论、化归与转化、函数和方程等数学思想方法的运用。

考向一、定点问题

(一)常见解法

(1)引进参数法。设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点,即为所求定点。

(2)特殊到一般法。从特殊位置入手,找到定点,再证明该定点与变量无关。

(二)应用举例

例1 已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有 FA =FD 。当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形。

(1)求C的方程。

(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E。证明:直线AE过定点,并求出定点坐标。

所以抛物线C的方程为y2=4x。

(2)由(1)知F(1,0),设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD＞0)。

因为FA =FD ,则x0+1=xD-1,由xD＞0 得xD=x0+2,故D(x0+2,0)。

所以直线AE过定点F(1,0)。

考向二、定值问题

(一)常见解法

(1)特殊方法。通过考查极端位置探索出“定值”是多少,然后再证明这个值与变量无关。如果试题以客观题的形式出现,特殊方法往往比较容易奏效。

(2)引进变量法。具体步骤为:

①引入变量。选择适当的动点坐标或动直线的斜率为变量。

②构建函数。把要证明为定值的量表示成上述变量的函数。

③推导定值。把得到的函数化简,消去变量得到定值。

(二)应用举例

(1)求椭圆C的方程。

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,直线l与椭圆C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

考向三、探索性问题

(一)常见解法

(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化。其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素存在；否则,元素不存在。

(2)解决是否存在点的问题时,可依据条件,直接探究其结果,也可以举特例,然后证明。

(3)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解。

(4)解决是否存在最值的问题时,可依据条件,得出函数解析式,依据解析式判定其最值是否存在,然后得出结论。

(二)应用举例

(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示)。

(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N。问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标；若不存在,请说明理由。

故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,点Q的坐标为