■河南省商丘市第一高级中学

一、本章知识结构图

二、重点知识剖析

(一)空间几何体的表面积和体积

对柱体、锥体、台体的侧面积和体积的考查以公式为主,一般情况下,只要记住公式,题目就可以顺利求解。因此,这类题目从难度上讲属于中、低档题,在高考中直接出题的可能性大,容易出现相关的选择题或填空题。

例1 已知三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,侧面积分别是6,4,3,则三棱锥的表面积是____,体积是____。

解：如图1所示,设PA=a,PB=b,a2b2c2=12×8×6,所以

图1

因为侧棱PA,PB,PC两两垂直,所以

总结:(1)柱体、锥体、台体的侧面积分别是侧面展开图的面积,因此,弄清侧面展开图的形状及各棱的位置关系是求侧面积问题的关键。

(2)求柱体、锥体、台体的体积,关键是找到相应的底面积和高。可充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题。

拓展：若三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,则类比直角三角形中的勾股定理有:

(二)空间几何体的直观图与三视图

将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫作该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图,统称三视图。它们依次反映了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度。

在高考中,主要考查三视图和直观图,特别是通过三视图确定原几何体的相关量。多以选择题、填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题,侧重于考查考生对基础知识的掌握,以及应用所学知识解决问题的能力。

例2 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图如图2所示,则该几何体的俯视图为图3中的( )。

图2

图3

解：因为该几何体是一个大长方体去掉一个小长方体,结合正视图及侧视图中的线段均为实线,所以“缺口”就在前面的左上方,所以俯视图“缺口”必在左下方且为实线。故选D。

(三)空间点、直线、平面之间的位置关系

要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在该平面内(即纳入法)；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线；证明“线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点,思路是:先证明两条直线交于一点,再证明交点在第三条直线上。

平面的基本性质、公理、公理的推论及直线与平面的位置关系,都是每年必考的知识点,试题难度不大,多为选择题和填空题。

例3 如图4所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是____。(写出所有正确命题的编号)

图4

分析：本题重点考查截面问题,对于截面问题要利用平面的性质定理作为理论背景,尤其是两条平行直线确定一个平面。

解：对于①②,因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,当这时过A,P,Q的截面与正方体表面交于点D1,且PQ∥AD1,如图5截面S为等腰梯形。当时,过A,P,Q三点的截面与正方体表面的交点在棱DD1上,截面S为四边形,如图6所示,故①②正确。

图5

图6

图7

对于⑤,如图9所示,当CQ=1时,则过点A,P,Q的截面APQE为菱形,其对角线EP=2,AQ=3,所以S的面积为

图8

图9

综上,正确命题的序号是①②③⑤。

总结:截面问题是平面基本性质的具体应用,先由确定平面的条件确定平面,然后作出该截面,并确定该截面的形状。

(四)直线、平面平行的判定与性质

有关平行的问题是高考的必考内容,主要分为两大类:一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算。主要考查同学们的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

平行关系是立体几何中的一种重要位置关系,在高考中,选择题、填空题几乎每年都考,难度一般为中档题,且常常以棱柱、棱锥为背景。

例4 如图10所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,O为AC的中点。问:在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1ABB1?若不存在,说明理由；若存在,确定点E的位置。

分析：欲证线面平行,一般通过线线平行来证明。要证线线平行,就在一个平面内进行,通常利用平行四边形或者三角形的性质来处理。

图10

解：在BC1上存在点E,使得OE∥平面A1ABB1,且E为BC1的中点,证明如下:如图11所示,连接B1C,设B1C∩BC1=E,连接OE。由三棱柱ABCA1B1C1可知四边形BCC1B1为平行四边形,故E为B1C的中点。又O为AC的中点,所以OE为△AB1C的中位线,所以OE∥AB1。又OE⊄平面A1ABB1,AB1⊂平面A1ABB1,所以OE∥平面A1ABB1。得证。

(五)直线、平面垂直的判定与性质

在高考中,对垂直关系的考查一般有两种方式:

(1)考查垂直关系的有关定义、判定及性质,即通过有关命题的真假判定,直接考查有关的判定和性质定理。

(2)以空间几何体为载体,证明有关线线、线面、面面的垂直关系。

图11

例5 如图12所示,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为线段EC上(端点除外)一动点。现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足,如图13。设AK=t,则t的取值范围是____。

图12

图13

分析：对这类动态问题要深入地抓住其中的定性,掌握变中不变的因素是解题的关键。就本题而言,在矩形ABCD中,引DK⊥AF于点M,交AB于点K,在折起的过程中,DM,MK始终保持与AF垂直的关系,即点D在平面ABC内的射影Dˊ始终保持着与点M、K共线,所以我们可以把空间问题转化为平面问题,即在点F的位置确定后,点K的位置将固定不动,t值也不会因折起而变化,因此在平面图形中,利用相似建立t的表达式,即可求其取值范围。

解：如图14所示,过点K作KM⊥AF于点M,连接DM,易得DM⊥AF,与折前的图形相比,可知折前的图形中,D,M,K三点共线,且DK⊥AF(如图15所示)。于是△DAK∽△FDA,

图14

图15

总结:本题的解法是借助平面图形解决空间问题的典范,抓住面面垂直、线面垂直等空间问题的核心内容是解答各种立体几何问题的基本思路。

(六)空间角与距离

异面直线所成角、线面角、二面角是高考中考查的热点,解答与空间角有关的问题时,既可用传统法,又可用向量法。在新课程标准下,对立体几何的基本理论知识要求有所降低,因此,应用向量这一工具解题更为重要,特别是要熟练掌握利用空间图形的特殊性,建立适当的空间直角坐标系解决问题的方法,并能灵活应用。

空间角是立体几何中的一个重要概念,它是空间图形的一个突出量化指标,是空间图形位置关系的具体体现,故以高频的考点出现在历届高考试题中,在选择题、填空题及解答题中均有出现。

例6 如图16所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,且MD=NB=1,MD∥NB,E为BC的中点,求异面直线NE与AM所成角的余弦值。

分析：利用向量法可以轻松求解异面直线所成的角。

解法一：如图17所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,依题意,得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,(-1,0,1)。

图16

图17

解法二：对几何体细心观察,正三棱锥B-ANC的三条侧棱两两垂直,它分明是正方体的一角,从这个视角出发,又联系到MD⊥平面ABCD,四边形ABCD又恰好是正方形(正方体的一个面),如此分析,应当想到已知形体是正方体的一部分,于是“补全”正方体是合乎情理的。

如图18所示,连接BQ,易知BQ∥AM,设BQ∩NE=F,则∠NFQ即为异面直线AM与NE所成的角。

在正方形BCQN中,E为BC的中点,NQ=1。

图18