厦门市五显中学 范建珍

转化和化归思想是解答数学问题中常用的思想方法,它不仅仅是一种常用的数学思想和数学方法，还体现了一种数学的能力。在数学学习的过程中处处都体现着转化和化归思想。转化，简单的理解就是把一个问题变成了另一个问题。转化是数学中最常用的思想，转化的本质在于使问题简单化，明朗化。常见的转化有一般与特殊的转化、等价转化、复杂与简单的转化、数与形的转化、构造转化、联想转化、类比转化等。

数列问题一直是高中数学中的核心内容，研究数列的基本手段是运算，变式多样，且常与其他知识点结合起来考察，所以对于基础薄弱的高中学生来说难度较大，出错概率较大，在数列应用上失分现象较为普遍。本节课是以数列问题为例的化归与转化思想专题复习，是数列复习不可缺少的内容。数列递推公式又是近几年高考考查的热点内容之一，因此由数列递推公式求通项公式也显得更加重要。由于数列这部分知识所涉及的概念、公式、性质较多，计算较复杂，导致学生在这部分知识的学习中经常出错。主要问题是逻辑混乱、思维受限制、缺少反思，解题方法没有掌握本质，基于学生的这个学习特征，本节课以化归转化思想为专题进行复习，既可以对学生的数列知识进行一定的梳理建构，又能渗透相关的数学思想与方法，培养“数学抽象和运算”等数学核心素养，追求解决问题的根本大法。本节课从学生的元认知水平出发，采取“问题探究—总结—再探究”的循环类比教学模式，通过三个题组从学生熟悉的地推公式出发，由易到难，问题层层深入。围绕本节课教学的重点和难点，组织学生讨论、发言，实现师师互动、生生互动，使数学教学成为“有思想的教学”。教学过程设计如下：

一、问题引入

问题1：已知数列{an}中，a1=1且点Q（nan+an+1）（n∈N*）在直线x-y+2=0上，则数列{an}的通项公式。

问题2：若把条件“在x-y+2=0上”改为条件“在3x-y=0上”，其他条件不变，则数列{an}的通项公式。

问题3：若把条件“在x-y+2=0上”改为条件“在4x-y+1=0上”，其他条件不变，则数列的通项公式。

设计意图：以题引知，温故而知新，让学生把数列问题转化为简单的等差、等比数列问题进行处理，让学生养成不断回到概念去，是解决数列问题的常见的转化思路。由特殊到一般，由简单到复杂。形如递推公式an+1=qan+p，若q，p其中一个为零，数列{an}是一个等差数列或等比数列；若q，p均不为零，可通过加k法转化为简单的等比数列问题进行处理。这符合学生的认知规律，激发学生探索的热情。让学生全面看待问题，学会合理转化。

二、问题探究

例1.以下递推公式怎么转化？

学生自编题目如下：

构建研究的整体框架，再展开具体研究。学生动脑、独立思考尝试解答，并参与编题，加深学生对此类题型的印象。合理转化，渗透定义法、加K法、倒数法、叠加法、累乘法等。

例2.设Sn是数列{an}的前项和，且an+1=2Sn，a1=-1，求 Sn

追问1.若把条件an+1=2Sn改为条件an+1=SnSn+1，其他条件不变，怎么转化？

抛出问题让学生探究，加强比较，让学生感悟与同时出现的时候的转化对象、目标、及转化的方法，在an与Sn同时出现的关系式中，一般通过进行转化，使关系式仅含an或Sn，再根据情况进行处理。

例 3.数列{an}满足若数列为公差大于0的等差数列，求的通项公式。

追问1.等差数列{an}的前n项和Sn，若公差d=-2，S3=21，求nSn取得最大值？

尝试让学生体验把数列问题转化为函数问题，引导学生执行数学运算三步曲：理解、选择、运算，注重方法的选择，规范答题的板书，结合课件展示。最值问题是我们这种普通高中学生最为薄弱的题型，学生往往不知道如何下手，从何入题。结合学生实际，我们在平时的教学中，应该逐步渗透并总结出求数列最值问题的方法：（1）转化为函数的单调性；（2）运用递推公式。

课后反思：1.合理精准探究可促进课堂效率的提升。首先，探究活动起点太低，学生会觉得没有探究的必要，不能激发学生探究的兴趣。起点太高，学生无法在已有的知识方法与所要探究的对象之间建立有效的联系，从而失去探究的信心。因此，在本节课探究设计中，笔者从学生熟知的等差等比数列出发，通过类比到an+1=qan+p这类模型，大多数学生能够参与到探究活动中，探究活动的设计符合学生认知的“最近发展区”。其次，教师应成为探究活动的指导者，教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景，教师应引导和帮助而不是代替学生发现和提出问题。在本节课中，教师通过对例1前两道题的讲解，引导学生通过类比转化与化归的思想，自己出题，自己解题。学生的认知水平达到一个新的高度。在整个探究过程中教师起到为学生攀登思维高峰搭建脚手架的角色。

2.激发学生学习动机，培养学生的化归与转化思想。

课堂上教师采用问题串的形式，能够激发学生的求知欲。巧妙地设计问题，问题的设计要符合学情，问题太难容易使学生丧失信心，问题过于简单，学生没有动力。教师在备课时应当充分考虑学生的真实水平，合理巧妙的设计问题串。新授课时教师应启发学生从自己已有的知识中去寻找与新知识的相似之处，将新问题中的陌生形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。以此找到突破口，再通过老师的启发和同学的讨论，自己的思考来解决问题。在老师的不断鼓励下，学生遇到问题总是喜欢做一做，想一想，议一议，然后在自己独立思考的过程之后大胆提出看法，随着转化与化归思想方法的不断渗透，看清问题的实质，最终解决问题。