摘要：在多年的高职高等数学执教经历中发现，不定积分的教学需要花费较长的时间，原因在于学生不容易理解和掌握求解方法，尤其是第一类换元积分法，究其根源在于没有掌握被积函数的特点。本文着重分析了第一类换元积分法被积函数的特点，方便大家掌握第一类换元积分法。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；被积函数

微积分主要内容为微分和积分，积分有不定积分和定积分之分，在求解积分时，只要会求解不定积分，那定积分的求解就没问题。不定积分的求解方法主要有直接积分法、第一类换元积分法（凑微分法）、第二类换元积分法和分部积分法。直接积分法是对被积函数化简后直接套用积分公式求解积分的一种方法，比较简单；第二类换元积分是直接换元求解积分的方法，比较容易掌握；分部积分被积函数特点明显，有七种被积函数，但有的需要先凑微分。如此看来，第一类换元积分法（凑微分法）是不定积分教学内容的重点和难点。

在多年的高等数学教学中，笔者发现，要想掌握好第一类换元积分法就要理解和掌握被积函数的特点，本文着重分析了第一类换元积分法被积函数的特点。

一、 第一类换元积分法积分原理

定理设f（u）有原函数，u=φ（x）可导，则有换元公式

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du|u=φ（x）

即∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f[φ（x）]dφ（x）

=令u=φ（x）∫f（u）du（也稱凑微分法）

从定理中可以看出，被积函数是两项的乘积且有导数关系，故当被积函数有以下特点时，可以考虑使用第一类换元积分法求解，即先凑微分后换元，再求解不定积分。

二、 第一类换元积分被积函数的特点

（一） 被积函数是一个函数乘本身的导数时，先用导数项凑微分，再换元。

【例1】求∫sinxcosxdx；

分析：在这一不定积分中，被积函数是两项的乘积，且这两项之间有导数关系：（sinx）′=cosx，满足定理条件，所以可以先用cosx去凑微分，即cosxdx=dsinx，凑微分之后被积函数中还剩下sinx，刚好可以换元，然后套用基本积分公式求解不定积分。

解：∫sinxcosxdx=∫sinx（sinx）′dx=凑微分∫sinxdsinx=换元u=sinx∫udu=12u2+C=变量回代12sin2x+C。

（二） 被积函数是复合函数乘中间变量的导数时，先用导数项凑微分，再换元。

【例2】求∫ln2xxdx

分析：被积函数可以看成复合函数ln2x乘1x，且复合函数中间变量lnx的导数是1x，即（lnx）′=1x。两项之间有导数关系，所以可以使用第一类换元法求解，先用导数项凑微分，然后换元，再求解不定积分。

解：∫ln2xxdx=∫ln2x·1xdx=∫ln2x·（lnx）′dx=凑微分∫ln2xdlnx=换元令u=lnx∫u2du=13u3+C=变量回代13ln3x+C。

（三） 当导数相差常数倍时，先用导数项凑微分后换元，再求解不定积分。

【例3】求∫1xsinxdx。

分析：被积函数是复合函数sinx乘1x，且复合函数中间变量x的导数为12x，即1x=2（x）′，则可以凑微分1xdx=2dx，故而可以使用第一类换元法求解该积分。此题的技巧在于先“凑齐”导数，导数相差多少倍便补齐多少倍，这样方便后续解题步骤。

解：∵（x）′=12x，∴1x=2（x）′，则1xdx=2dx。

原式=∫sinx·1xdx=∫sinx·2（x）′dx=凑微分∫sinx·2dx=换元令u=x2∫sinudu=-2cosu+C=变量回代-2cosx+C。

（四） 被积函数与基本积分公式相近，此时，被积函数也可以看成是两项的乘积，并且两项之间有导数关系。

【例4】求∫（5x-3）10dx。

分析：被积函数虽然是一个幂函数，但不能直接套用基本积分公式求解，而且由于次数较高，展开来计算也不简单，所以要考虑使用其他方法来计算。在此题中，如果将dx换成d（5x-3），题目就简单许多，这就需要先凑微分。凑微分时，将被积函数看成（5x-3）10乘1，其中复合函数中间变量（5x-3）′=5，与1相差常数倍，则1=15（5x-3）′，凑微分后的结果为1dx=15d（5x-3），被积函数中还剩下（5x-3）10，从而可以换元然后求解积分。

解：∫（5x-3）10dx=∫（5x-3）10·1dx=∫（5x-3）10·15（5x-3）′dx=凑微分∫（5x-3）10·15d（5x-3）=换元令u=5x-315∫u10du=155u11+C=变量回代155（5x-3）11+C。

在近几年的教学实践中发现，只要掌握了被积函数的特点，掌握了凑微分的技巧，第一类换元积分法就不再是难题。当然，由于本人实践经验有限，文中还存在不足之处，欢迎广大读者批评指正。

作者简介：

陈小燕，云南省昆明市，云南机电职业技术学院。