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浅谈对培养学生数学的思维能力的思考

2018-11-13何德伟

速读·中旬 2018年9期
关键词:反思性解决问题错误

高中数学在传授数学知识的同时,同样重要的是培养学生的思维能力,培养良好思维品质的,通过有效的训练提高学生实际生活的能力,把数学思维应用到实际生活中去,故本文在了解、理解数学思维的同时,对数学思维的培养进行了部分探讨。

首先,数学思维具有变通性,对应的知识不一样,思维思考方向也会不一样,故需要学生根据题设的相关知识,提出灵活设想和解题方案。数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性。学生有善于观察的习惯,心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。

例如:求和[11·2+12·3+13·4+]……[+1n+1],这些分数相加,通分很困难,但每项都是两相邻自然数的积的倒数,且[1n(n+1)=1n-1n+1],因此,原式等于[1-12+12-13+]……[+1n-1n+1=1-1n+1]问题很快就解决了。

同时在思考问题时善于联想,联想以前见过的、思考过、听过的等,联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系,都是不明显的、间接的、复杂的。因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观察到的特征,灵活运用有关知识,做出相应的联想,将问题打开缺口,不断深入。更深层次的我们要善于将问题进行转化,数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连续变换。可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题之后,就要寻求转化关系。

其次,数学为何成为学生从小必须学习的科目?因为它对孩子将来的做事能力的提升等实际问题非常重要,故在学习时要注意数学思维的反思性,根据自身的情况提出独特见解,检查思维过程,不盲从、不轻信,这也是实际生活的需要。数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设,获得独特的解决问题的方法,它和创造性思维存在着高度相关。故加强学生思维的严密性的训练,培养他们的创造性思维。在实际操作中,注意检查思路是否正确,注意发现其中的错误。在数学题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。同时验算的训练也是反思训练的一种,验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算,可以检查解题过程的正确性,增强思维的反思性。养成验算的习惯,可以有效地增强思维反思性。如:在解无理方程、无理不等式;对数方程、对数不等式时,由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化,这样就有可能产生增根或失根,因此必须进行检验,舍弃增根,找回失根。同时在实际生活中注意对事件的反省观察,对事件结果的核实也是生活必须的。

在遇到实际的问题时要学会独立思考,敢于发表不同見解,受思维定势或别人提示的影响,解题时盲目附和,不能提出自己的看法,这不利于增强思维的反思性。因此,在解决问题时,应积极地独立思考,敢于对题目解法发表自己的见解,这样才能增强思维的反思性,从而培养创造性思维。

再次,由于数学是一门严谨的科学,数学思维的严密性,考察问题严格、准确,运算和推理精确无误,故在学习数学时提升前因后果的意识,问题的严密性。

中学生的思维过程常常出现不严密现象,主要表现在以下几个方面:概念模糊,判断错误,推理错误概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念,搞清概念的内涵和外延,为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱,产生错误。判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中,如果概念不清,很容易导致判断错误。

例如:“函数[y=(13)-x]是一个减函数”就是一个错误判断。推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的,推理出错,说明思维不严密。

思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错,概念的训练,推理的训等。概念是抽象思维的基础,数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密。

例如:证明勾股定理:已知在[?ABC]中,[∠C=90°],求证[c2=a2+b2]。

错误证法:在[Rt?ABC]中,[sinA=ac],[cosA=bc]而[sin2A][+cos2A=1],[∴(ac)2+(bc)2=1],即[c2=a2+b2]。

错误分析:在现行的中学体系中,[sin2A+cos2A=1]这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论,作为推理的前提条件,叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的,而且不易发觉。因此,在学习中对所学的每个公式、法则、定理,既要熟悉它们的内容,又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误,正是思维具有反思性的体现。

第四,对每个数学问题或生活的实际问题都具有多面性,解决问题可以从不同的地方着手,故需要关注数学思维的开拓性,对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法,即一题多解。“数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在:

一题的多种解法:

例如:已知复数[z]满足[z=1],求[z-i]的最大值。

我们可以考虑用下面几种方法来解决:①运用复数的代数形式;②运用复数的三角形式;③运用复数的几何意义;④运用复数模的性质(三角不等式)[z1-z2≤z1-z2≤z1+|z2|];⑤运用复数的模与共轭复数的关系[z22=z·z];⑥(数形结合)运用复数方程表示的几何图形,转化为两圆[z1=1]与[z-i=r]有公共点时,[r]的最大值。

一题的多种解释:

例如:函数式[y=12ax2]可以有以下几种解释:①可以看成自由落体公式[s=12gt2];②可以看成动能公式[E=12mv2];③可以看成热量公式[Q=12RI2]。

又如“1”这个数字,它可以根据具体情况变成各种形式,使解题变得简捷。“1”可以变换为:[logaa],[xx],[sin2x+cos2x],[logab·][logba],[sec2x-tg2x],等等。

总之数学解题的思维过程是指从理解问题开始,经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程,G.波利亚提出了四个阶段,即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质,可以用下列八个字加以概括:理解、转换、实施、反思。理解问题是解题思维活动的开始。转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程,是思维策略的选择和调整过程。计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达,是解题思维活动的重要组成部分。反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要方面,是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。而数学思维能力正是实际生活事件的解决问题的理论化,数学化,所以我们在教学时需结合实际来理解数学思维,提升数学思维,从而让学生解决实际问题的能力得到提升。

参考文献

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[7]張定强.当代信息技术与数学教育改革[J].电化教育研究,1998(6):102-103.

作者简介

何德伟,性别:男;民族:汉;学历:本科;中学教师;工作单位:四川省石室中学。

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