邬小燕

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。它能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明。数与运算是所有数学活动的基石，离开这些，数学活动便成了空穴来风，无本之木。在沪教版的小学数学教材中，有一个数学模型，从一年级的第一学期到五年级的第二学期，每一年都或多或少地出现在“数与运算”的版块中，那就是“数射线”。

“数射线”的第一次出现，是在一年级的第一学期的第一单元“10以内的数”。我们知道，“数轴”可以帮助学生进一步理解数的概念，同时也呈现了数与形的结合，还可以帮助学生掌握加、减运算等。但是“数轴”包含负数，不适合一年级的小学生。为此教材中引入了“数轴”的正半轴，形象地称之为“数射线”，既达成了上述目的，又能为一年级小学生所掌握。呈现数射线，边画边引导学生观察出它的特点，揭示出三要素“原点（起点）、方向、单位长度”。

二年级第一学期的乘法，是数射线带给我们的另一个惊喜——乘法及一个数分拆为乘与加。乘法教学使用数射线的活动：几格一跳。跳一次、标一个数，以游戏形式直观地为学生们提供了一个探究、认知、整理的舞台。乘法口诀不再以直接告知的方式教给学生，而是通过学生们探究认知、多次实践操作，通过推理计算，然后总结出来的。在乘加教学时，将9条数射线同时展示，这九条数射线分别遮到21，学生们清楚地看到，在每一条数射线上，分别是几段多几格。

二年级第二学期，则是从百以内将定位、定序、邻数、大小比较等知识迁移到千以内的数射线上，并写出用字母表示的数。在小学数学中，往往通过数射线能将抽象的数与具体直观的图形建立起联系，帮助学生积累感性经验，从而有利于学生对数概念的学习。

三年级时数射线的出现在两个我们意想不到的知识点上，一个是“千米的认识”。另一个是“速度、时间、路程”。“速度”这个概念比较抽象，它虽然存在于生活中，但是看不见、摸不着，无法借助实体来表征，而且不易掌握量感。让学生借助数字来间接比较物体运动快慢的过程，体会“速度”概念的必要性。熟悉速度、时间、路程三者的关系。

到了四年级，数射线在数概念中的作用已经非常显而易见了，在分数的认识上，最后一个单元数学广场中“数射线上的分数”。这是小学阶段关于分数概念的最后一个知识点。考虑到分数这一概念的小学初中的衔接问题。学生在学习分数大小比较和分数的加减计算中已经积累了不少经验，在此基础上，利用“分数墙”与“数射线上的分数”在形式上的相似性，让学生在进一步复习分数的大小比较和加减计算的同时，体会分数不仅仅是一个操作过程，同时是一个数学对象，是一个像自然数那樣可以表示在数射线上的数，从逐步实现“分数”概念从“过程”到“对象”的转变，为学生到初中学习“两数相除所得的商”的分数定义做准备。由于把分数表示在数射线上与第三单元中的“分数墙”在形式上非常类似，因此可以作为系统复习“分数的大小比较”（同分母或同分子和“分数的加减计算”（同分母）知识的模型，同时，在“分数墙”的基础上有了进一步的抽象和提高。

四年级第二学期的小数版块，数射线出现得十分频繁。

从数射线上的分数引入小数概念可以看出，小数实质上是十进分数的另一种表示形式，其依据是十进制位值原理。在数射线上标出0.3和0.30，发现是同一个点，两个数是相等的。由于小数单位的不同，利用数射线的两点间可以无限等分的特点，直观地看出在数射线上同一个点可以用不同的小数表示，从而印证了小数的性质：在小数部分的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变。

横轴和纵轴的概念在统计图的教学中正式接触。两条数射线，组成横轴和纵轴。横轴上通常是依时间或次序的先后排列，纵轴上表示的是统计的量。学生在一年级时已经学习了有关序数的概念，知道可以使用一个序数表示在一条直线上人或物体的位置，从一年级开始学生就接触、使用数射线，已经建立了数（自然数）与数射线上的点之间的对应关系。在二年级第二学期，通过“东西南北”也为直角坐标系做了一些铺垫。“位置的表示方法”利用有趣的情景，渗透直角坐标系的初步概念，使学生知道仅用一个数不能确切地描述物体在平面中的位置，而使用有序整数对（a，b）可以表示物体在平面中的位置。

五年级第一学期学习用字母表示数是学习代数初步知识的起点，也是代数学习的一个难点。对小学生而言，从具体事物的个数抽象成数是认识数的必要过程，现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的一个飞跃。学生认识到可以用字母表示数射线上的点所对应的特定的数。

五年级第二学期，在数轴上认识正负数。经历将数射线反向延长得到数轴的过程，学习数轴的画法，并通过将正负数表示在数轴上进一步体会数与数轴上点的对应关系，逐步渗透数形结合的思想。学生在学习数轴之前，已初步接触到数射线原点、正方向、单位长度的有关概念，从数射线出发，利用“比0大的数是正数，比0小的数是负数”的相关知识，引导学生思考，只要将数射线从零点出发，反向延长，就能形成一条“直线”，而这样的直线就是“数轴”。所有的正负数都能在数轴上找到自己的位置；同时，数轴上的点都能表示一个数。有了数轴这一工具，可以方便地进行正负数的大小比较。

数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。学生抽象思维的形成是建立在大量形象思维的基础之上的。数射线虽然在整个小学数学阶段只是担任着一个数学模型的角色，但是它的作用确实不可估量的。数射线的直观性优势是将数与运算的知识从形象思维过渡到抽象思维的一个载体，使学生的认知从从感性的具体进入抽象的规定，从而形成数的概念。用好这个数学模型，在日积月累中养成并完善学生理性思维的建构，这是一个长期的内化过程，不是一朝一夕能够完成的，需要我们做出不懈的努力。