廖雷 胡婷

摘要：分块矩阵是一种特殊矩阵，在矩阵的运算中起着简化降级的作用。本文先介绍分块矩阵的性质，再归纳分块矩阵在高等代数中的普遍应用。

关键词：分块矩阵；简化降级；高等代数

在高等代数里，矩阵是必不可缺的内容，也是研究代数问题的重要工具。为了方便探究与运用更广泛的矩阵的特性，我们想到把一个阶数较大的矩阵分割成若干个子块，再把每一块子块看成一个元素，从而引出分块矩阵。本文的理论框架为通过研究分块矩阵的性质，一步一步的总结出分块矩阵在计算和证明这两方面的应用。

一、分块矩阵

（一）分块矩阵的定义

设A∈F（m×n）对A用横线划分成t块，用竖线划分成块，就得到一个s×t的分块矩阵

其中，小矩阵Aij（i=1，…s；j=1，…t）叫做的一个字块，这类矩阵叫作分块矩阵。

（二）分块矩阵的性质

性质 1 令方阵由下述分块矩阵构成

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩形，又M任一s级方阵

对于矩阵，则|B|=|M||A|

性质 2 令方阵由下面形式的分块矩阵构成

A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩形，又M任一s级方阵

，则|D|=|A|

二、分块矩阵的应用

（一）分块矩阵与矩阵的秩

定理3.1.1秩（AB）≤秩（A），秩（AB）≤秩（B），则秩（AB）≤min{秩（A），秩（B）}。

定理3.1.2 A、B都是n阶矩阵，若AB=0，则秩（A）+秩（B）≤n。

例：矩阵A、B是n阶矩阵，证：（AB+A+B）≤秩（A）+秩（B）。

证明：

即

其中都是可逆矩阵，所以

况且

得证：（AB+A+B）≤秩（A）+秩（B）

（二）分块矩阵与矩阵求逆

定理3.3.1 令矩阵是一个四分块的方阵，其中矩阵A为r阶方阵，矩阵D为k方阵，当A与（D-CA-1B）都是可逆矩阵时，则矩阵Q是可逆矩阵，

且

（1）矩阵B=O，矩阵C=O，矩阵A与D都可逆时，

Q-1=；

（2）矩阵B≠O，矩阵C=O，矩阵A与D都可逆时，

Q-1=；

（3）矩阵C≠O，矩阵B=O，矩阵A与D都可逆时，

Q-1=。

例：

解：令

由矩阵求逆可得