刘彦江 赵欣庆 张文斌 丁冬彦

摘 要：利用几何画板软件作图，用向量思想方法求解点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式，直观、准确地展现了数学知识之间的交叉渗透，体现了数学美.

关键词：构图；向量；距离公式

笔者基于几何画板软件探究出了“点到直线、两平行线间的距离公式”一课.以下为课堂实录，仅供参考.

一、点到直线的距离公式

几何画板展示构图：

1.新建画板，建立平面直角坐标系.在x轴上任取点H；在y轴上任取点I.过H作x轴的垂线与过I作y轴的垂线交于P0.作线段HP0、线段HP0.隐藏垂线.

2.在x轴上任取点J；在y轴上任取點K.构造过J、K两点的直线l.在直线l上任取点E，过点E作直线l的垂线，在垂线上任取点F（在直线l的右侧），构造直线的法向量.构造射线EF，隐藏垂线.

3.在直线l上任意取一点P，构造向量.图形如右：

4.拖动点J、K，使直线l在点P0的左侧.过点P0作射线EF的垂线交EF于点G，构造向量的投影EG.

5.拖动点P0，观察投影EG的变化.

新建文件夹，将“未命名1”存入.

板书：点到直线的距离公式：

在平面直角坐标系中，如果已知某点P0的坐标为（x0，y0），直线l的方程为Ax+By+C=0（A>0，B≠0），求点P0到直线的距离.

解：如上图，设直线l的一个法向量为，不妨设为=（A，B）.设P（x，y）是直线l上的任意一点，则=（x0-x，y0-y）.

点到直线l的距离d为向量在上的投影的绝对值.

d=cos<，>=.

而·=A（x0-x）+B（y0-y）

=Ax0+By0-（Ax+By）

=Ax0+By0+C.

又=，

所以得到点到直线的距离公式

d=.

若A=0，直线l和x轴平行，直线l的方程为By+C=0，点到直线的距离公式为d=y0+=.

若B=0，直线l和y轴平行，直线l的方程为Ax+C=0，点到直线的距离公式为d=x0+=.

因此，若A=0或B=0，上式仍成立.

二、两条平行直线的距离公式