郭 子 坚， 薛 天 寒， 王 文 渊＊， 彭 云

（大连理工大学 水利工程学院，辽宁 大连 116024）

0 引 言

锚地是供到离港船舶临时待泊、联检、避风及过驳作业等使用，是港口重要的水域功能区，合理的锚地规模对港口的发展具有支持和保障作用［1］.目前港口规划中锚地规模的计算方法主要是基于排队论，给出某一保证率下的设计锚位数，对锚泊船位置分布的随机性考虑不足，船舶在锚位很难严格按照井字形或者品字形规整分布［2］，导致实用锚地容量无法达到设计值.随着到港船舶数不断增加，实用锚地容量不足的现象更加突出，如宁波—舟山港［3］、大连港［4］等港的很多港外锚地容量已无法满足需求.因此，探讨更加符合锚地实际特征和考虑不确定因素的锚地容量评价和规划方法十分必要.

目前在港口规划阶段，一般通过排队论的方法计算设计锚位数，然后通过比例折算弥补设计值和实用容量之间的差距，通常根据日本学者臼井英夫等［5］的研究成果，考虑实用容量为设计值的固定比例进行锚地面积确定，没有完善的改进和计算方法；Zrni′c等［6］以河港为例，运用排队论模型分析了锚地-船舶-泊位系统，确定最优的数量配置；Tang等［7－8］在研究海港航道通过能力时将锚地的能力看作确定值；刘敬贤等［9］将锚地与泊位看成一个整体，运用系统仿真的方法分析了锚地泊位系统的服务能力；米小亮等［1］基于多级排队模型对锚地规模进行了仿真研究；廖克佳［10］运用饱和度的指标对宁波—舟山港核心港区锚地实际利用情况进行了评价，焦宇等［11］通过排队船舶数量和排队时间来计算锚地需求面积.可以发现目前专门研究锚地容量不确定性的研究还比较少，在涉及港口锚地系统时，基本都是采用设计理论值，没有考虑实际锚地船舶的锚泊特征，缺少基于实用锚地容量的概率评价指标和规模设计的优化方法，从而导致了锚地规模设计值与实际情况之间存在普遍差距.交通领域有较多研究通过可靠性和冗余设计的方法，用以评价和克服容量的不确定性，将路网容量可靠性定义为一定条件和服务水平下交通网络能够容纳一定交通量的概率［12］，Lim 等［13－14］通过可靠性理论分析道路容量的不确定性并提出计算方法；刘伯鸿等［15］通过运行图冗余时间优化保证高铁运行的可靠性.

本文引入系统可靠性及冗余优化理论，评价和解决不确定因素下的锚地容量规划设计问题，并基于蒙特卡罗模拟方法考虑锚地的实用容量，建立系统可靠性最大和锚位冗余数最小的双目标优化模型，以期为锚地规模的合理确定提供参考.

1 锚地容量可靠性

1.1 实用锚地容量

实用锚地容量是指考虑锚泊船实际可能出现的位置分布等因素影响，锚地内能够容纳的最大锚泊船数量.由于锚泊船舶在锚地无法严格按照井或者品字形排列［2］，且船舶到港先后、船型大小等存在不确定性，造成锚地实际能够容纳的船舶数是个随机值，且在一定范围内变化，这是实用锚地容量与设计值不符的根本原因.

为了解实用锚地容量的变化规律，采用蒙特卡罗模拟算法［3］对实用锚地容量进行定量评价.基本思路是：在锚地面积范围内随机生成锚泊船位置点及相应锚泊范围，通过计算新生成锚泊点与原先全部有效锚泊点之间的距离判断新生成锚泊点是否有效.有效则确定生成船舶位置点，无效则判断是否已经生成足够多无效位置点.判断足够多的依据是通过大量试验统计达到设定值之后能生成有效位置点的概率，经试验确定200次之后基本没有出现有效位置点.若没达到则继续生成并重复以上步骤，若达到则统计有效位置点数量，确定实用锚地容量.

以集装箱港区锚地为例，设计容量30个，大量试验后统计结果中不同实用锚地容量的出现次数，绘制实用锚地容量概率密度曲线和累计频率曲线，200次模拟试验后曲线变化趋于稳定，500次模拟试验后曲线基本一致，见图1.可以发现，实用锚地容量集中在19个，最高为23个，均未达到设计容量.定义累计频率为1时的船舶数为实用锚地容量变化下限Amin，累计频率最小时的船舶数为实用锚地容量变化上限Amax，即图中实用锚地容量为15个和23个的点.

图1 实用锚地容量概率密度和累计频率曲线Fig.1 Probabilistic density and cumulative frequency of practical anchorage capacity

因此，锚地设计容量应有一定冗余，使实用锚地容量能够满足船舶锚泊需求.

1.2 可靠性计算方法

实用锚地容量的随机变化是影响锚地容量可靠性的重要因素.将锚地容量可靠性定义为一定条件下能够容纳一定船舶数量的概率，通过分析船舶进入港口作业的流程，可知锚地容量可靠性主要由在港船舶的概率特征和实用锚地容量特征决定.

具体而言，当有n艘船在港并且锚地能够满足需求的概率Pn要从两个方面推算：一是根据排队论确定有n艘船在港的概率pn，二是实用锚地容量能够满足需求的概率.有以下两种情况：在港船舶数比较少，小于泊位数和实用锚地容量变化下限之和，此时不受实用锚地容量变化的影响，即为n艘船在港的概率；二是在港船舶数进入到实用锚地容量影响范围，要考虑实用锚地容量概率的影响，为n艘船在港概率与所有实用锚地容量大于等于n－S值概率和之积.即

可靠性在数值上等于从0艘船到锚地实用容量上限的所有Pn相加，即

式中：S表示泊位数.pn是基于排队论确定的在港船舶概率，当船舶到港规律服从泊松分布，船舶占用泊位时间服从负指数分布，泊位数为S时，即M／M／S模型，可按式（3）和（4）计算；ri是实用锚地容量为i－S的概率，根据蒙特卡罗模拟算法确定.

式中：p0是没有船在港的概率，a是船流密度.

2 锚地容量可靠性冗余设计模型

2.1 模型描述

考虑到实用锚地容量的不确定性，为了保证锚地的可靠性，在对不同货种、不同吨级的锚地规划时，进行锚位数的冗余设计，使得系统满足一定的可靠性要求.本文选取整个锚地系统可靠性最大和冗余数最小为优化目标，在排队论的基础上建立基于多种约束的双目标优化模型，寻求锚地规划时不同保证率下的冗余数帕累托最优解集.

2.2 模型假设

模型的建立主要为了解决考虑了实用容量的锚地规模问题，通过增加不同吨级的锚位冗余数来提高锚地系统的可靠性，对于部分影响因素进行了简化.主要假设如下：

（1）冗余锚位与原锚位功能完全相同；

（2）不同货种、吨级的锚地功能和作业相互独立，互不影响；

（3）不同货种、吨级的锚地重要性相同.

2.3 模型构建

分析不同吨级、不同货种构成的整个锚地系统为串联可靠性结构［16］，建立如下港口锚地容量可靠性冗余优化模型.模型中涉及的变量及参数见表1.

表1 参数、变量及其含义Tab.1 Parameters，variables and their meanings

目标函数为

约束条件为

模型的目标函数由两部分构成，式（5）是包括不同吨级、不同货种的锚地系统可靠性的目标函数，实现整个锚地系统可靠性最大化；式（6）是冗余锚位数目标函数，实现冗余锚位数最小.式（8）表示各锚地子系统需满足的最低可靠性约束，式（9）表示冗余产生的用海成本上限约束，式（10）表示冗余锚位占用面积约束，式（11）表示锚地各子系统的冗余数上限约束，式（12）为整数约束.

2.4 模型求解

上述模型是多目标整数规划问题，同时决策变量的每一个冗余数取值都需要将锚位数转化为面积，进行蒙特卡罗模拟试验获得概率分布来计算可靠性.由于可行解为整数且在一定范围内，实际规划中方案个数有限，可对整个可行解范围进行遍历，获得所有冗余数情况下的可靠性变化情况，从而获得帕累托最优解集.求解逻辑如图2所示.

图2 模型求解逻辑Fig.2 Model solving logic

3 算例分析

以北方某集装箱港区为例，应用本文提出的锚地容量可靠性冗余设计模型确定在一定吞吐量下的锚地最优容量.该港2015年吞吐量1 012×104TEU，全年接卸集装箱船舶4 795艘次，泊位数14，锚地平均水深25m，设计船型10万吨级集装箱船，船长346m.实际到港船舶吨级不同，可用换算系数统一成标准船舶［3，5］，本文以设计船型进行分析.

3.1 模型输入

（1）船舶到港分布.统计分析历史船舶到港时间间隔数据，拟合分析服从负指数分布，见图3.计算平均到船率λ为13.137艘／d.

图3 船舶到港时间间隔拟合分析Fig.3 Fitting analysis of time intervals of ships′arrival

（2）船舶占用泊位时间分布.依据历史数据统计分析，服从负指数分布［8］，计算平均装卸船率μ为1.042艘／d.

（3）单船锚泊占用面积.按照风力小于7级计算其回旋半径为511m，考虑到实际情况，允许发生一定概率内的交叉.

相关参数计算见表2.

表2 参数计算Tab.2 Parameters calculation

3.2 计算结果分析

按照本文构建的锚地容量可靠性冗余设计模型，进行模型求解，主要结果如下：

（1）按照传统锚地容量确定方法，基于排队论确定不同保证率g下的锚位数N，并按照本文可靠性的计算公式推求该锚位数下的容量可靠性，不同设计锚位数的保证率与可靠性对比见图4.可以发现，保证率为87.2%（设计锚位数为14）时可靠性比保证率小9.98%，而保证率为97.6%（设计锚位数为30）时可靠性比保证率小4.80%.可知，计算得出的可靠性比确定锚位数的保证率明显偏小，且随着保证率的增大，两者之间的差距呈现逐步缩小的趋势.

图4 不同设计锚位数的保证率与可靠性对比Fig.4 Contrast between guaranteed rate and reliability for different designed anchorage number

（2）求得不同保证率下的双目标优化模型帕累托曲线如图5所示.保证率为87.2%时冗余2个锚位比1个锚位可靠性增加1.45%，而冗余12个锚位比11个锚位可靠性增加0.80%，同时保证率97.6%冗余2个锚位比1个锚位可靠性增加0.51%.可以明显看出，通过锚位数的冗余能够有效提高锚地容量的可靠性，且随着冗余数的增加，可靠性增加的速率在降低；不同保证率下锚位冗余对可靠性产生的影响不一样，保证率较低时锚位冗余产生的效果比保证率高时产生的效果要明显.

图5 不同保证率下优化结果Fig.5 Optimization results under different guaranteed rates

（3）对比锚地容量可靠性和保证率的差距，不同保证率下可靠性达到保证率时的锚位冗余数见表3.保证率为89.6%时需要10个冗余锚位，保证率为97.6%时需要16个冗余锚位，可以发现，随着保证率的提高，需要更多的冗余锚位，可靠性才能达到保证率.虽然随着保证率的提高，保证率和可靠性之间的差距在缩小，但是却需要更多的锚位冗余数.

表3 可靠性与保证率一致时所需的锚位冗余数Tab.3 Redundancy anchorage number when reliability reached the guaranteed rate

（4）实际决策过程中，最大可靠性和最小冗余数两个优化目标难以同时达到最优，决策时对于目标的偏好程度成为影响优化结果的重要因素.图6是保证率为87.2%、94.5%和97.6%时可靠性增加需要的锚位冗余数和用海成本情况，可以看出，随着可靠性的增加，所需要的锚位冗余数和用海成本增加越来越快，尤其在可靠性达到一定程度后，单位可靠性增加引起的用海成本和占用海域面积增加很快.这表明不同保证率下提高可靠性、提高不同程度的可靠性所付出的冗余成本是不一样的.在实际锚地规划中，可根据港口的重要性、海域功能规划等确定不同目标的重要性，由此调整锚位冗余数.对于重要港口，海域功能规划允许的情况下，应偏重于容量可靠性目标，建议可靠性不应小于保证率.

图6 不同保证率下可靠性增加需要的成本变化Fig.6 Cost changes caused by reliability increasing under different guaranteed rates

4 结 语

本文运用系统可靠性理论提出了锚地容量可靠性的定义和计算方法，在此基础上建立了以可靠性最大和冗余数最小为双目标的港口锚地容量可靠性冗余设计模型，进行可靠性的冗余设计，并以北方某港为例进行算例分析.研究结果表明，由于考虑了实用锚地容量的不确定性，计算得出容量可靠性明显低于设计保证率，符合目前锚地容量达不到设计值的现象，可靠性评价指标能够更准确地反映锚地的实际服务能力，而保证率是设计理论值；锚位的冗余设计是面对实用容量不确定性和保证锚地容量可靠性的有效方法，且随着冗余数的增加，可靠性增加的速率在降低，设计保证率越高时可靠性达到保证率所需要的冗余数就越多.本文的研究能够为港口锚地的科学规划提供依据，未来的研究可着重分析锚地船舶位置分配优化等策略对可靠性的影响.