杨卫东

(江苏省海门市悦来初级中学 226100)

本文就2018年南通市数学中考第28题(压轴题)的由来及思维宽度、长度、高度、深度的探究过程奉献与大家，以求资源共享、期待思维碰撞.

【课源再现】人教版数学教材八年级P85问题1：如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

【策略分析】1．“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”是我们分析、解决最短路径问题的理论依据和转化手段.众所周知：当A′地和B地位于直线l的两侧时(如图2)，只要连接A′B，根据“两点之间，线段最短”，可知A′B与l的交点P就是直线l上能使PA′+PB最小的位置.

2．如何把图1转化为图2的情况呢？显然，只要在图1中作出点A关于直线l的对称点A′，利用轴对称的性质，可以得到PA=PA′，此时PA+PB=PA′+PB≥A′B，即点P为线段A′B与直线l的交点时，PA+PB最小(如图3).

【经验积累1】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移、旋转等图形变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.

【潜心识图】如图4，因为PA=PA′，所以∠APM=∠A′PM.因为∠A′PM=∠BPN，故∠APM=∠BPN.过点P再作直线MN的垂线，利用等角的余角相等，即可轻松得出物理学科中“反射角等于入射角”的熟悉结论，让人倍感亲切又添无限遐想——能否把这个图形放在平面直角坐标系中作进一步探究呢？

【探究方向1】如图5，在平面直角坐标系xOy中，A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线上位于M，N间的任意一点，若锐角∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“反射点”．

已知点A(1，2)，B(-1，-2)．

(1)求点A、B关于直线x=m(m>1)的反射点P所在图象的函数解析式．