郑学涛　郭焕

1 例题呈现

（2018年山东临沂中考25题）将矩形ABCD绕A点顺时针旋转α（0°<α<360°），得到矩形AEFG，

（1）如图1，当点E在BD上时，求证：FD=CD；

（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形并说明理由.

图1 图22 题目解答

当点E在BD上时，∠AEF=90°，所以∠DEF+∠AEB=90°，又因为AE=AB，所以∠AEB=∠ABE，∠ABE+∠CBD=90°，可得∠DEF=∠CBD，而证明线段相等最常用的方法为证明这两条线段所在的三角形全等，故想到构造一个与Rt△BCD全等的三角形，而且这一组全等三角形还要为∠DEF=∠CBD为对应角，自然想过延长GF，交BD的延长线于N，则可证Rt△BCD≌Rt△EFN，再证FD=FN即可得FD=CD；对于第（2）问，要保证GC=GB，则G点一定在线段BC的垂直平分线上，因此首先尺规作图得到图3和图4，当α分别为60°（图3）和300°（图4）时，有GC=GB，且两图待证结论都可通过连接DG证明△DGC≌△AGB得到.图3 图43 积极联想，发散挖掘

3.1 以题联题

无独有偶，2018年江苏无锡中考数学的27题以几乎同样的问题背景设置了两个问题，这两个问题与临沂25题具有异曲同工之妙，联合起来不但使问题类型更既丰富，而且增加问题的趣味性.图5

如图5，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，经此矩形绕B点顺时针方向旋转θ（0°<θ<90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在直线CD上.

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕B点顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在直线BC的延长线上，设A2B与CD交于E，若A1EEC=6-1，求nm的值.

解 （1）过A1向AB作垂线，可得∠A1BA=30°，点D到点D1所经过路径为弧，其所对的圆周角为∠A1BA，半径为2，求得路径长度为π3；

（2）因为A1EEC=6-1，所以A1CEC=6，可证△BCE∽△BAD，则BCAB=CEAD，即CE=n2m，则A1C=6n2m，在Rt△A1CB中，根据BC2+A1C2=A1B2得n2+（6n2m）2=m2，解得m=3n，nm=33.

3.2 探究更加一般的中点图6

对于临沂中考第（1）问，当点E在BD上时，有CD=DF，且此时C、D、F三点共线，也即D为CF中点，而更一般的结论应为：当0°<α<360°时，直线BE交线段CF于M，则M是CF的中点，仅当点E在BD上……