吴国庆��

图1如图1所示，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，点C为其顶点，对称轴交x轴于点D，点E在x轴上方，并且在对称轴上，直线AE交抛物线于另一点F，过点F作y轴平行线，过点C作x轴平行线，两条直线交于点G，连接EG和AC，证明：EG∥AC.

证明 设A（x1，0），B（x2，0），于是y=ax2+bx+c为y=a（x-x1）（x-x2），设EC：x=h，于是C（h，a（h-x1）（h-x2）），设AE：y=k（x-x1），则E（h，k（h-x1））

联立y=a（x-x1）（x-x2）和y=k（x-x1），可得：xF=x2+ka.

又tan∠ACD=ADCD=h-x1-a（h-x1）（h-x2）=1-a（h-x2），

tan∠CEG=CGEC=x2+ka-hk（h-x1）-a（h-x1）（h-x2），

因為h=x1+x22，所以x1=2h-x2，

所以tan∠CEG=x2+ka-h-k（h-x2）+a（h-x2）（h-x2）=x2+k[]a[SX）]-h[]-a（h-x2）（k[]a[SX）]+x2-h）=1-a（h-x2）.

所以tan∠ACD=tan∠CEG，∠ACD=∠CEG，即EG∥AC.

当点E在x轴下方时，同理可证结论成立；如果我们改变抛物线的开口方向，也不难证明上面结论依然成立.

在二次函数综合题中，如果涉及到这类问题，利用这个结论可以很快发现问题思路，下面举例说明.

联立y=x2-4x+3和y=k（x-1）可求xD=3+k，所以QE=k+1，PQ=k+1，所以QE=PQ，

∠EPQ=45°，又∠EPQ=2∠APQ，所以∠APQ=22.5°，∠APE=67.5°，∠BAP=67.5°，

设PE交x轴于M，对称轴交x轴于N，则MA=MP，设MA=MP =m，则NM=m-1=PN，

由m=2（m-1），所以m=2+2，PN=2+1，即P（2，2+1）.图3

例2 如图3，抛物线y=-x2+2mx+3m2（m>0）与x轴交于A、B两点，A点在B点左边，顶点为M，若一次函数y=kx+b过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，且E在x轴下方，MG∥x轴，FG⊥MG，对称轴交x轴于点D，若AM∶EG=，求MG[]AB的值.

解析 可求A（-m，0）、B（3m，0），M（m，4m2）.

设AF：y=k（x+m），与抛物线联立得：

F（3m-k，4km-k2），E（m，2km） ，

因为tan∠AME=ADDM=12m，

tan∠MEG=MGME=3m-k-m4m2-2km=12m，

所以tan∠AME= tan∠MEG，∠AME= ∠MEG，

得AM∥EG，易证 △ADM∽△GME，

所以 AM∶EG= AD∶MG =，即 MG∶AD = ，又AB=2AD，所以MG[]AB=.

例3 （武汉调考题）y=ax2+bx+33与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C.P为抛物线的对称轴上的动点，且在x轴的上方，直线AP与抛物线交于另一点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图4，连接AC、DC.若∠ACD=60°，求点D的横坐标；

（3） 如图5，过点D作直线y=-3的垂线，垂足为点E.若PE=2PD，求点P的坐标.

解析 （1）y=3x2-43x+33； （2）问点D的横坐标为195；

（3） 如图5，过点P作PQ⊥DE，垂足为Q，抛物线的对称轴与x轴和y= -3交点分别为点H，M，则M（2，-3）.

设直线AD为y=m（x-1），联立y=mx-m和y=3x2-43x+33，

xD=3+33m，因为PM：x=2，DE∥y轴，

所以点D的横坐标为3+33m，所以ME=1+33m.

又tan∠PEM=3，所以∠PEM=60°，∠PEQ=30°，所以PE=2PQ，

因为PE=2PD，所以PD=2PQ，所以∠QPD=45°.

因为PQ∥x轴，所以AP与x轴的夹角为45°，则△PHA为等腰直角三角形，

所以PH=AH=1，所以P（2，1）.

从上面3个例题可以看出，利用这一结论可以很快寻找问题解决的思路，如：例1中，由PE∥AQ易发现∠QPE=∠QAN=45°；……