徐洁 张波

摘 要：数学史讲述了数学发展的历史，揭示了数学思想方法的起源。而在实际中小学的教学中，很多数学教师因为考试压力，只重视教学生硬邦邦的公式、概念，忽视了数学作为人类创造，服务生活的人性美。在数学教学中合情合理的运用数学史可以帮助学生打开数学思路，提高学生对于教学内容的认知，体现数学的育人价值，也更容易完成学习目标。本文通过附加式、复制式、顺应式、重构式四种方式的具体案例探究数学教学中数学史的运用方法。

关键词：数学教学；数学史；运用方式

随着1972年HPM（数学史与数学教学的关系国际研究小组的简称）的成立，广大数学教育者开始开发数学史的教育价值。美国数学史家卡约黎曾经说过，数学史知识是“使面包和黄油更加可口的蜂蜜”。而如何应用数学史为学科教学服务，使其不仅发挥文化功能，增加趣味性，还能直接或间接的帮助学生对有关数学教学内容更好的认知，促进学生的发展，不同的数学学者提出了不同的想法。而本文介绍的主要是在Fauvel、Tzanakis、Jankvist等人的基础上总结整理的运用数学史的四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。具体如表1所示。

借鉴或者重新构造教学知识发生发展的历史。适应于“发生教学法”中，激发学生学习动机，完成教学目标。

四种方式各有千秋，可以根据教学内容选择合适的某一个方式或者组合方式，最终目的都是使数学史融入课堂教学当中，提高学生对于所学知识的认知，完成有效教学。例如，在小学数学圆周率的学习中，可以采用附加式方法，通过介绍古代数学家祖冲之的生平事迹，激发学生对于中国圆周率领先世界一千年的民族自豪感。在初中数学“二元一次方程组”的学习中，可以采用复制式和顺应式相结合的方法，引用《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，既活泼生动又能激发学生学习新知识的热情，之后的对于题目的改编，有助于学生对于新知识的巩固。而在高中数学的对数学习中，可以采取重构式的方式，通过借鉴当时对数发展时遇到的问题，让学生亲自经历寻求简捷算法的过程，更加理解对数产生的思想方法，有助于之后的对数教学。但是值得注意的是，数学史并不能融入所有的学习单元，强行硬加可能会适得其反，不仅影响教师的教学计划，还会影响学生学习积极性。因此，在适合数学史融入的教学中选取合适的方式尤为重要。以下将详细举例四种方式的运用。

一、 附加式

例：笛卡尔与解析几何学

在讲解高中必修二“空间直角坐标系”前，可以在PPT上展示笛卡尔的头像，向学生讲述我们将要学习的空间直角坐标系的始祖，第一个倾斜坐标的诞生，利用坐标系诞生的有趣故事，启发学生对于坐标系的认知，再通过讲解解析几何学的意义及现在解析几何学的前沿课题，增加学生的数学视野。

美国数学史家M.克莱因曾经这样评价：“代数同几何分道扬镳，它们的进展就会缓慢，随之而来，应用也会变得狭窄。只有当二者结合，才会互相完善。”而将二者结合在一起的正是笛卡尔。早在很久以前，古希腊学者就开始研究曲线，却一直苦于找不到曲线表示的方法。17世纪的法国数学家笛卡尔出色地解决了这一难题。他将构成曲线轨迹的点用有序数对表示，从而建立曲线的方程。巧妙地将几何问题转化为代数问题。而笛卡尔当时用的坐标系并不是现在常见到的直角坐标系，而是倾斜坐标，这也是数学史上第一个坐标系。

讲到这里，同学们肯定觉得笛卡尔是因为非常聪明才取得如此大的成就，实际上笛卡尔从小身体弱，上学也比别人晚，只是特别刻苦努力，爱思考问题。有一个有趣的故事说笛卡尔创立解析几何的灵感来源于天花板上的苍蝇，笛卡尔躺在床上望着天花板上的苍蝇，不停地思考如何描述曲线轨迹，突然想到可以将苍蝇看为运动的点，根据苍蝇与各个墙壁的距离确定苍蝇的位置，用数字表示出苍蝇位置，从而得到苍蝇这个点的运动轨迹。从中可以看出每一个成功都离不开背后的努力。

笛卡尔和费马创立的解析几何学，打开了数学新世界的大门，开启了数学新时代。后来的数学学者站在巨人的肩膀上，利用数形结合、类比的思想，不仅表示出三维空间的点，还推广到四维空间甚至高维空间，极大促进了数学的发展。让人欣喜的是，解析几何学并没有停滞不前，反而愈加充满活力，现在高等教育中的泛函分析及代数几何便是其分支。

通过上述附加式的引入，不仅让学生了解到早期的坐标系诞生的背景，也感受到了坐标系的诞生为数学学者研究几何学提供便利，更重要的是笛卡尔勤于动脑的好学精神，更加值得同学们学习。

二、 复制式

例：斐波那契数列

（一） 引入题目

教师：同学们，现在我们来看一个老朋友。（展示PPT）大家眼熟吗？

学生看到后纷纷表示这个是小学时候的兔子数列。

教师：同学们的记忆力真好，这个兔子数列是意大利数学家斐波那契提出的，因此也叫作斐波那契数列。同学们可以看出来斐波那契数列的规律吗？

由于比较简单，学生回答比较快。即从第三项开始，每一项都是前两项的和。

教师：非常好，那我们可以得到规律即：Fn+2=Fn+1+Fn（n∈N+）。但是這个并不是斐波那契数列的通项公式，同学们能不能根据我们已经学过的等差数列及等比数列的知识，求出斐波那契数列的通项公式呢。在PPT上展示题目：

已知F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn（n∈N+），求数列Fn的通项公式。

（二） 引导解题

学生列出表格观察每一项的规律，列出表格：

通过复制式方式，将斐波那契数列融入高中数学解题中，学生们在利用所学知识的解题过程中，也能感受到数学的神奇与美丽。数学家们发现的问题被学生们解决，学生也会感受到收获知识的喜悦感、成就感。

三、 顺应式

例：解二元一次方程组

在解“二元一次方程组”中，经常会采用《孙子算经》中的“鸡兔同笼问题”引入，其实，中国传统数学非常重视算术及应用，唐代时，就有了《算经十书》作为人们学习数学的教材。其内容也为中学课堂教学提供了丰富的课程资源。比如在《张邱建算经》中，就有“百鸡问题”，“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”这个问题可以列三元一次方程组解决。而我们在学习解二元一次方程组，可以将其改编为二元一次方程组的问题。

买一只母鸡需要十元钱，一只小雏鸡需要两元钱，现在共买了母鸡和小雏鸡共18只，花费100元钱，问：买了多少只母鸡，多少只小雏鸡？

这个问题列二元一次方程组即可解决。借助数学史改编的问题引入，也可告诉学生，早在公元5世纪左右，我们的数学家就开始用方程解决实际问题，不仅有二元一次方程组，还有三元一次方程组。可见中国古人善于在实际情境中从数学的视角发现问题、分析问题、解决问题。

四、 重构式

例：复数的引入

我们熟悉的复数教学表面容易教，记住公式多做题就可以取得成绩，实际上却难于让学生掌握对于复数的本质理解，真正认同复数。不妨尝试重构式教学，用发生的方法引导学生参与到复数的历史中来。

（一） 卡丹的发现

解方程组

x+y=10.xy=40

学生解得结果为x1=5+-15，x2=5--15，感觉自己解错了，出现了负数的开方，但是验证却是正确的。实际上，这与16世纪的意大利数学家卡丹的经历是一致的。他在解出这个题目后，认为这很矫揉造作却又自圆其说。其实，早在卡丹以前，也有数学家发现了虚数，但都以负数没有平方根直接否决了。卡丹却承认了这种形式的数，并且将它用于计算。卡丹的这种敢于突破传统实事求是的精神很令人佩服。

（二） 邦贝利的观察

套用卡尔达诺公式x3=px+q（p，q均为正数）解x3=15x+4。

由于这个公式学生也不是很熟悉，教师可以尝试给予方法帮助学生解决，师生共同参与解得x=32+-121+32--121。

再次出现负数的开平方，同学们出现疑惑，难道方程的根不存在？而通过师生的观察和尝试，发现这个方程竟有三个实数根，分别为：4，-2+3，-2-3，这与刚才利用卡尔达诺公式所解的答案似乎有矛盾。邦贝利也遇到了与同学们相同的问题，但是他没有像他的前辈卡丹一样，回避这个矛盾，而是直面问题得到了一个意想不到的结果。

邦贝利假设32+-121=a+-b，32--121=a--b

解得：a=2b=1

则：x=32+-121+32--121=2+-1+2--1=4

邦贝利创造性的使用了-121，-1这种形式的数，矛盾解决了，也使这种形式的数有了存在的意义。笛卡尔将其命名为“虚数”，意思为想象中的數。而随着数学学者发现了复数在几何上的意义，复数在数学上逐渐得到大家的认可，有了用武之地。

通过上述采用重构式的引入，让学生参与到复数的历史中来，遇到了与数学家相同的问题，逐步克服认知障碍，提高学生对于复数的认知能力，增加学生学习复数的动机。同时也感受到数学上的每一个发现都不是凭空出现的，而是人类在探索数学世界时不同时期不同数学家共同努力，遇到问题解决问题的结果。

总而言之，在数学教学中使用数学史的方式有很多，不仅有文中的附加式、复制式、顺应式、重构式，还可以采用其他方法。其根本目的都是帮助学生更好的学习数学，形成良好的数学素养和文化素养，也使不同的学生在数学上得到不同的发展。

参考文献：

[1] 鲍建生，徐斌艳.数学教育研究导引（二）[M].南京：江苏教育出版社，2013：403-408.

[2] 朱家生.数学史第二版[M].北京：高等教育出版社，2004：99-108.

[3] 徐军.两种求斐波那契数列通项公式的方法[J].课程教育研究，2017（5）.

[4] 卢建川.基于问题驱动的高中复数教学研究与教学内容的重构[D].广州：广州大学数学与信息科学学院，25-28.

作者简介：

徐洁，张波，江苏省扬州市，扬州大学数学科学学院。