浅谈中学数列中的探索性问题

2018-08-21杨光

数学学习与研究 2018年10期

关键词：数列探索中学

杨光

【摘要】本文采用了文献分析法、实例分析法，分析了知果索因数列和结论数列中的探索性问题，旨在为中学数列探索性问题研究提供有效参考.

【关键词】中学；数列；探索

一、知果索因数列探索性问题分析

（一）解题思路以及注意事项

解答知果索因数列探索性问题的思路是先根据结论进行逆向推导.假设结论成立，一步步进行计算、分析，由结果推导条件进行论证，最后论证结论成立.在解答这类数列问题时，需要注意三点：一是全面考虑数列结论成立的充分条件，避免重复运算，或漏算、误算.有些数列探索性问题会出现多余条件，是为了迷惑我们解题，但是这种情况并不多见，一般出题教师不会加入多余条件.在判断数列探索性问题条件是否多余时，应根据该题所证结论，或者所求条件确定已知条件是否多余，不能凭空下结论；二是根据实际情况解答数列问题，在推理时理清必要条件和充分条件，避免二者混淆；三是注意知果索因数列问题所求的一般是问题的充分条件，求充要条件的并不多见.因这类数列问题需要运用联想力、观察力和逻辑思维能力，所以应重点培养.

（二）实例分析

已知正项数列{an}满足Tn+Tn-1=Ka2n+2（n≥2，K>0），其中a1=1，Tn是{an}的前n项和.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）如果Sn=1anan+1，那么求出K的取值范圍，使其对所有Sn<2，n∈N*恒成立.

解（1）因为a1=1，Tn+Tn-1=Ka2n+2，所以a2=Ka22.

因为n≥2，K>0，所以a2不可能为0，所以a2=1K.

因为Tn+Tn-1=Ka2n+2，①

所以Tn-1+Tn-2=Ka2n-1+2（n≥3）.②

①-②得an+an-1=K（a2n-a2n-1）.③

将③进行因式分解可得：

（an+an-1）[1-K（an-an-1）]=0.④

因数列{an}属于正项数列，

所以an>0，所以an+an-1>0，

所以an-an-1=1K（n≥3）.⑤

由⑤可知{an}从第二项开始是等差数列，公差为1K，

所以an=1，n=1，n-1K，n≥2.

（2）因为Sn=1anan+1，所以s1=K.

当n≥2时，

Sn=K+K211×2+12×3+…+1n（n-1）

=K+K21-1n.

若使K>0，Sn<2对所有n∈N*恒成立，

只需2-KK2>1-1n对所有n∈N*恒成立即可.

因为1-1n恒小于1，所以只需求证2-KK2≥1即可，

由2-KK2≥1解得0

二、结论数列探索性问题分析

（一）理论分析

结论不清晰或者有多个答案的数列题属于结论探索性问题.这类问题因结论涉及的情况比较复杂，学生条件反射性认为比较难，不敢去解题，其实只要细心并考虑周到便可解决.因结论不唯一，探索空间比较发散，多做多练就有利于培养学生的发散思维能力和观察力.这类数列探索性问题解法比较灵活、形式丰富多样，不能套用统一解题模式.

（二）解题思路以及注意事项

解答结论性数列探索问题的思路是先根据已知条件进行分析、联想，发现该类问题的数列规律，然后利用规律推理、计算得到最终结论.解这类数列题时，需要注意三点：一是充分挖掘已知条件.这类数列探索性题目每个条件都对应一步解题关键，如果漏掉一个或者挖掘不充分，很容易得出错误结论或遗漏.因此，在解题时应充分挖掘已知条件；二是推理全面缜密.因结论探索性数列问题的结论大多不唯一，在教学生解这类题时，应引导学生进行全面缜密推理，避免遗漏可能性结论；三是不能怯场.有些学生发现这类数列问题得出的结论不唯一，习惯性认为自己解错了，不敢解答，或者解答的似是而非，条理不清晰.教师应帮助学生树立自信心，不要因结论不唯一而怯场.

（三）实例分析

已知等比数列{an}的前n项和Sn=2×3n+k（k∈R，n∈N）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足an=4（5+k）anbn，Tn为数列{bn}的前n项和.判断3-16Tn与4（n+1）bn+1的大小，并证明你的结论.

解（1）因为Sn=2×3n+k（k∈R，n∈N），

所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4×3n-1.

由于{an}是等比数列，所以a1=s1=4，

解得k=-2，所以an=4×3n-1.

（2）由（1）知{an}的通项公式，

将{an}的通项公式代入an=4（5+k）anbn，

可得bn=n-14·3n-1.

因为Tn为数列{bn}的前n项和，