时小飞

【摘要】本文主要阐述函数抽象建模的概念、函数抽象建模思想培育的过程及在初中函数教学中的应用设计，并以《一次函数》一课为例，深入剖析抽象建模思想如何在初中函数教学中进行渗透，为初中函数教学中的课程设计提供了一种有效的培养路径。

【关键词】初中数学 抽象建模 课程设计

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0101-02

一、函数与函数抽象建模的概念

在中学数学教学中，函数、方程、不等式等模块占据课程的较大篇幅，其中，函数作为其重点、难点，成为初中阶段数学学习的关键内容之一。在中学函数概念的引入过程中，从常量教学到变量教学、从单纯现实问题到复杂抽象问题研究的转变，对中学生而言，可以说是数学思维方式的一个关键转折点，函数成为了常量数学过渡到变量数学的重要标志。

对大部分中学生来说，变量概念的引入也使得数学学习的难度骤然剧增，在函数相关章节教与学的过程中，如何让学生充分理解函数构成的核心要素，借助函数完成现实问题的应用分析，成为教学过程的难点。为此，如何帮助学生快速形成抽象建模的思维理念，帮助学生学会用变量的思想研究抽象的问题，成为函数课程设计的核心，这需要教师借助科学的教学模式与方法，重视对函数教学课程的优化设计，通过巧妙的教学引导，帮助学生完成数学抽象思维方式的转变。

二、函数抽象建模的过程

与以往小学数学解题方式不同，函数思维模式要求学生充分思考生活中遇到的情景，明确其中的规律，通过对现实问题的深度分析，完成函数模型的构建。函数抽象建模的基本步骤如下：

（1）通过对实际情形的充分剖析，发现其中的各种关系；

（2）将实际情形进行抽象化处理，转化为数学问题，并借助多个变量进行表示；

（3）在以上基础上，构建出合适的函数模型；

（4）利用函数的知识求解出数学结果；

（5）检验数学计算结果的合理性，得出实际问题的最终答案。

三、抽象建模思想在初中数学函数教学的应用设计

教学设计是中学教学的核心，在开展教学活动的过程中，不仅需要丰富的理论实践知识，还需要借助一定的教学条件和采用合适的教学方法。为了提升学生对函数课程学习的兴趣，在初中函数概念初步引入的教学设计中，要充分借助自主预习、讨论分析、交流协助、独立探究和情景实践等学习方式，指导学生有意识地进行数学建模分析。但这个过程还有较多的细节需要在教学设计中充分论证，譬如我们要考虑到初中生的年龄特点，现实情景的认识局限，思维模式转变的障碍。所以函数概念初步引入的教学设计中，需要选择学生感兴趣的案例作为突破口，根据现实情景完成建模分析，并且保证模型思想渗透在数学建模的整个过程当中。笔者根据多年教学经验，总结出初中数学建模教学设计的过程分为六个步骤，具体如图1所示：

1.发现问题

在中学函数的学习中，大部分的函数建模原型都是来源于实际生活中的具体问题。对于初中生而言，在课程设计过程中，為了保证学生尽快接受动态变量的应用，需要教师在教学设计中，选择符合中学生认知范围的问题情境，精心设计情境进行导入模式，引导学生完成现实问题的虚拟化转变，培养其抽象建模的意识。在整个教学过程中，学生从具体情境中发现问题，明确其中的各种因素的影响关系是完成建模的第一步，基于初中学生的年龄特征和认知范围，选择适合学生的情境能够激发学习兴趣，使学生善于思考积极发现问题，有利于数学建模活动的开展。

2.作出假设

作出假设是在问题分析之后，通过观察分析、分组讨论、归纳总结等一系列活动，在充分了解问题的基础上提出函数模型的雏形，借助该函数雏形，可以帮助进一步分析各种因素的影响关系，引导学生对所发现的问题进行进一步分析，从而得出更为准确的模型假设。在具体实施进程中，初期提出的部分假设很可能存在一定的不足或错误，这时，授课教师需要全方位分析学生提出模型假设的理论根据，明确学生在作出假设的思维模式，发现其中可能存在问题，引导学生作出更为准确的判断。

3.建立模型

在抽象化函数模型的建立进程中，需要借助各类数据完成初期情景的综合分析，在假设模型的基础上，完成具体问题的整体分析。在作出假设的基础上，抽象概括出问题的关键变量，借助函数知识，完成己知量、未知量之间等量关系的描述，并借助数学符号将假设的己知量、未知量表示出来，从而完成数学模型的构建。在整体分析步骤中，最为关键的就是完成准确的函数模型的构建，也是教师在课程设计中的关键内容。在初中阶段，函数模型的构造可以说是教学中最难实施的部分，完成函数抽象建模的教学任务，笔者认为需要建立标准化的函数模型构造流程，用以指导学生建立规范的函数模型分析思维模式。

4.求解模型

借助已经建立的函数模型，通过数据计算，完成函数的求解，求解过程需要借助各种函数理论的有关知识。例如，求解方程模型需要借助等式性质、求解不等式模型需要借助不等式性质、求解几何模型需要借助三角形等相关知识。在整个求解过程中，需要充分分析构造的解析式与函数图像之间的关系，利用方程知识完成求解。

5.验证模型

在现实问题转变为函数抽象模型的过程中，可能会出现部分问题限制因素扩大或缩小，从而导致函数最终的求解出现偏差，如在分式方程去分母的过程中，会出现分母不能为“0”的隐性限制条件遗失，出现增根。所以，在完成模型求解后，需要对求解出的结果进行进一步验证，结合实际问题，完成最终求解的检验，舍弃不合适的结果。在具体应用过程中，需要将求解的结果完整地输入到函数模型中检验。检验会出现三种可能，第一就是完全符合，这说明最终求解是完全正确的，构造的函数模型是准确的。第二种结果是完全不符合，这就需要对现实问题进行重新分析，修订已经构造的函数模型。第三种结果是出现增解，这说明构造的模型是正确的，但解方程的过程中，出现增解，需要结合现实问题，进行全面分析，舍弃不合理结果，确定最终答案。

6.模型拓展

在教学设计的过程中，模型验证之后，并不代表整个建模分析已经全部完成，在完成验证分析后，教师需要引导学生对整个流程进行总结反思。将一个问题的分析方法进行拓展，外延到一类问题分析方法上来，最终实现借助一个问题的综合分析，实现一类问题分析方法的归纳总结，如打折销售问题、行程问题、调配问题、折叠问题、面积问题等，在中考中出现的频率非常高，借助建模，对具体问题进行归纳总结，让学生完全掌握此类问题的核心要素，建立标准的分析模式，完成模型的拓展应用。借助模型的拓展分析，可以帮助学生完成抽象模型思维模式的培育，提升借助函数建模完成现实问题分析的能力。

四、案例应用分析

以沪教版《一次函数》一课为例，具体说明在初中函数教学设计过程中，利用“发现问题——作出假设——建立模型——求解模型——验证模型——模型拓展”的过程，完成“建模思想”在初中函数教学中的应用实施。

1.创设情境，发现问题

案例一：概念引入

在课程设计中，教师首先借助弹簧的性质，让学生分为若干组，每组分发一个弹簧和若干等重的物体，并在弹簧上依次挂上，观察弹簧的长度和物体个数的关系。

教师：同学们，你们有什么发现？

众生：弹簧越来越长。【发现问题】

教师：非常好，那谁知道弹簧的长度与什么有关呢？

学生1：与物体的重量有关。【作出假设】

教师：那具体关系是什么呢？我们该如何进行探究呢？

（学生分组讨论、合作交流，仍不知从何处入手，教师继续引导）

教师：上节课我们学习了函数的概念，这里弹簧的长度与物体的重量之间是函数关系吗？为什么？

学生2：是函数关系，因为随着物体重量的增加，弹簧长度也在增加。

教师：这位学生回答得很具体，真棒。既然是函数关系，那么如何表示呢？

学生3：可以取一些特殊值。

教师：取特殊值？你能不能解释一下？

学生3：首先观察弹簧在不挂物体时的长度，也就是当物体质量为0时，弹簧长度是多少。再挂一个物体进行观察，也就是当物体质量为100克时，弹簧长度是多少，以此类推，当物体质量为200克、300克、……时，观察弹簧长度怎么变化。

（众生鼓掌）

教师：很好，那么大家分组动手进行实验，每组派一名学生记录数据。

（分组实验，讨论交流）

教师：哪个小组展示一下自己的数据？

（学生争先恐后地想展示自己小组的实验结果）

学生4：我们发现弹簧在不挂物体时的长度为5厘米，当所挂物体的质量为100克，弹簧长度就增加0.5厘米，为5.5厘米；当所挂物体质量为200克时，弹簧长度增加1厘米，为6厘米；当所挂物体质量为300克时，弹簧长度增加1.5厘米，为6.5厘米。

教师：其他小组与学生4所在小组测得的数据一样吗？

众生：一样。

教师：采用什么样的方式能清楚展示二者之间的关系呢？

学生5：列表，我列出了物体质量与弹簧长度变化的表格（见表1）。

教师：很好，表格很直观，我们能清楚看到二者之间的变化关系？如果挂700克物体，弹簧长度是多少呢？有什么方法能帮助我们快速计算出结果呢？

（学生交流）

学生6：就像我们在计算圆的面积时，S=2πr，任给一个半径，都能求出面积。如果我们能求出二者的函数关系式，那么任给一个物体质量，就可以求出弹簧长度。

学生7：对，如果用x表示所挂物体的质量，用y表示弹簧长度，从表1中的数据，就可以得到y=0.5x+5【建立模型】

设计意图：借助比较常见的场景，引导学生完成简单函数的建模，关键是建模思想的渗透，如何引导学生想到构建变量之间的函数关系，让学生通过亲身体验，明确弹簧长度随着物体质量的变化而变化，这样可以帮助学生建立构造函数解析式的思维模式。

2.观察思考，分析变化

案例二：借助函数模型，完成现实问题的应用分析

在课程设计上，教师在白板上展示教材原題。某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L。

教师：你能写出耗油量Y与汽车行驶路程x之间的关系吗？【发现问题】

学生1：y=0.12x【作出假设】

教师：你能写出油箱剩余油量z与汽车行驶路程x之间的关系吗？

学生2：z=60-0.12x【建立模型】

教师：关系式中的x可以无限增大吗？有没有一个取值范围？

学生2：x表示汽车的行驶路程，油箱里有60升油，汽车每行驶50千米耗油6升。汽车

走500千米就没油了，所以x不会无限增大，最大为500千米。

教师：所以上述的关系式要改为：

y=0.12x（0≤x≤500）z=60-0.12x（0≤x≤500）【验证模型]

设计意图：相较于案例一，学生已经初步掌握了构建一次函数模型的方法，这里通过追问x的取值范围，培养学生数学分析问题的严谨性、全面性与现实性，帮助学生塑造良好的抽象思维的模式。

3.合作探究，建立模型

教师：请同学们观察我们得到的这两个关系式有什么共同特点？【模型拓展】

y=0.12x（0≤x≤500）z=60-0.12x（0≤x≤500）

学生1：我发现函数模型中都x和y两个变量。

学生2：我发现两个函数模型中x和y两个变量的指数都是1。

教师（总结）：很好！那老师帮助同学们总结一下吧。若有两个变量，用x与y表示，并且他们之间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称Y是x的一次函数（x是自变量，y为因变量）。

4.回顾反思，总结模型

教师：请同学们回顾这节课，谈谈有什么收获？【总结反思】

学生先独立回顾再全班交流，教师可以进行适当的提醒，如一次函数关系式常数有什么要求？引导学生不仅总结内容，还要总结模型思想和建模方法。教学反思：《一次函数》主要描述因变量和自变量之间的关系，其中因变量是引发问题的主要因素，自变量是在因变量的基础上，展现给人们的现实情景。如弹簧的变化，其因变量是下面悬挂重物的重量发生了变化，引发的结果是弹簧的长度变长。但这之间存在一定的内部关系，这层关系，就是函数模型。本例中，从实际问题中剖析其中内在关系，进行分析，得出函数解析式，并对解析式进行数学计算，用于解释现实问题。下一步，可以借助图形图像的方式，描绘这一规律，便可以引出《一次函数图象》，帮助学生建立更为直观的抽象分析问题的思维，并形成用一次函数模型解决实际问题的意识。

五、结束语

本文中，仅仅借助《一次函数》完成相关函数模型的全面解读，在具体课程设计过程中，也可以应用于《二次函数》、《三角形》《圆》等函数模型中。例如圆的面积和半径的关系，数学中三角形的面积与底、高的关系等。总之，在“建模思想”在初中函数教学的设计中，应该遵循标准化的建模流程，以学生为主体，重视学生建模分析的自主活动，引导其独立完成多类型建模的应用讨论，并将函数建模的教学与课内、课外有机地结合起来，把函数抽象建模活动与综合实践活动有机地结合起来，培养学生的创新精神和实践能力。具体实施中，教师可以采用小组合作形式展开函数建模活动，让学生成为数学建模的主角，从而更好的培育学生借助抽象建模，完成现实问题的抽象化分析的意识。

参考文献：

[1]董连春，曹一鸣，胡琴竹.初中数学合作学习中教师干预的案例研究[J].教育学术月刊，2013（06）：68-71.

[2]梁立贵.初中数学合作学习中存在的问题及对策[J].教学与管理，2011（18）：109-110.

[3]刘海燕.初中数学建模思想初探[J].现代教育科学，2011（04）：126-128.

[4]张辉蓉，朱德全.初中数学主题式教学实验研究[J].中国教育学刊，2007（12）：64-66.