2018年4月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(浙江省慈溪市慈溪实验中学华漫天315300)

解由于(x,y,z)=1，所以x、y、z中至少有两个数互质，

不妨令t=y+z，

由(y,z)=1知(y,t)=1，而t>y，

故t=11且y<11，

得x=11y-y2，由于x>11，

故y=2,3,4,5,6,7,8,9，

则x=18,24,28,30.

(2)若(x,y)=1或(x,z)=1，不妨考虑(x,y)=1，同样令t=y+z，得tx=11y(t-y)，

则y|tx，于是y|t，不妨令t=ky，

代入化简得kx=11y(k-1).

于是y|k，令k=k′y，得k′x=11(k′y-1)，

因此k′=1或者11，

当k′=1时，得x=11y-11，由于(x,11)=1，故不符；

当k′=11时，得x=11y-1，其中y是大于1的所有整数，此时易知z=11y2-y.

(3)若(x,y)=1且(x,z)=1,易得x=1，不符.

综上x的所有解是x=18,24,28,30,11n-1(其中n是大于1的所有整数).

2417四边形ABCD的边AD、BC相交于点P，AB与CD不平行，△ABP、△CDP的外心分别为O1、O2，垂心分别为H1、H2，O1H1、O2H2的中点分别为E1、E2，过E1、E2分别作CD、AB的垂线.证明：这两条垂线与H1H2三线共点.

(江西省高安市石脑二中王典辉330818)

证明如图1，设M1、M2分别为PH1、PH2的中点，过E1作CD的垂线，交PH1于X1，交H1H2于Y1；过E2作AB的垂线，交PH2于X2，交H1H2于Y2.

图1

在△E1X1M1和△E2X2M2中，因为X1M1⊥AB、X2E2⊥AB，所以X1M1∥X2E2；同理可知E1X1∥M2X2.可得∠E1X1M1与∠E2X2M2互补.

又因为E1M1∥O1P、E1X1∥PH2,

所以，∠M1E1X1=∠H2PO1=∠CPH2-∠BPO1=(90°-∠PCD)-(90°-∠PAB)

=∠PAB-∠PCD.

同理，∠M2E2X2=∠O2PH1

=∠O2PD-∠H1PA

=(90°-∠PCD)-(90°-∠PAB)

=∠PAB-∠PCD.

因此，得∠M1E1X1=∠M2E2X2.

于是，由正弦定理有

由熟知的定理：三角形任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍.可得PM1等于O1到AB的距离.

PM1=O1Acos∠APB=O1Pcos∠APB

=2M1E1cos∠APB.

同理，有

PM2=2M2E2cos∠CPD=2M2E2cos∠APB.

因为X1Y1∥PH2,X2Y2∥PH1，

从而Y1与Y2重合，即X1E1、X2E2、H1H2三线共点.

(江苏省常熟市中学查正开215500)

证明

(1)

根据条件利用柯西不等式，(1)式左边

由于最后一个不等式在已知条件下是成立的 故(1)成立，因此问题2得证.

2419在△ABC中,R,r分别是△ABC的外接圆半径和内切圆半径,∠BAC的平分线AD与ΔABC的外接圆相交于点D,AD与则BC相交于点E,则

(天津水运高级技工学校黄兆麟300456)

证明链中前两个不等式

成立较明显,故以下仅需证链中最后一个不等式即可.

如图,容易看出,在△ABD中,

则由正弦定理可得

=2R,

(1)

另一方面,由熟知的内切圆半径公式

可得

=cosA+cosB+cosC

两边同除以2立得链中最后一个不等式……