崔志荣

(江苏省东台市安丰中学 224221)

1　提出问题

在高三复习中，经常遇到这样一道经典题：

题1若函数f(x)=lg(kx2-2x+1)的值域为R，则实数k的取值范围是.

教学中发现，很多学生的答案与“定义域为R”的答案一样.通过课堂提问得知，他们知道讨论二次项系数，但对k>0这种情况，他们认为应该是Δ<0，如果Δ≥0，那么真数kx2-2x+1的最小值非正，无意义.他们实在很难想得通，为什么应该是Δ≥0？

诚然，题1确实有一定的理解难度，在高一函数学习中，很多教师就已经讲过这类题，通常是用换元法理解该问题，令t=kx2-2x+1，则f(x)=lgt，借助对数函数图像说明，若要使函数f(x)的值域为R，则需变量t取到每一个正数(缺一不可).对于k>0这种情况，同样借助二次函数图像说明，若Δ<0，则t=kx2-2x+1的最小值tmin为正，函数f(x)有最小值lgtmin，只有Δ≥0时，才能保证t取到每一个正数，使得函数f(x)的值域为R.我们发现，即使讲得再慢、再仔细，总还有学生纠结Δ的正负问题，当然，相应的变式演练，他们的正确率没有问题，步骤不多，容易记住，而且还有“定义域为R”的题目作铺垫，总不能两道题做同样的答案吧！但实际情况是，很多学生并没有真正理解，以致到了高三，原形毕露.

既如此，那我们应该怎样评讲这道题？才能使学生悟透其本质内涵，让他们经久不忘其方法呢？

2　数学理解的几个层次

针对上述问题，笔者先谈谈学生对数学知识方法理解的几个层次，并由此思考促进学生理解的教学策略.

(1)费解.对教师所讲的知识方法，学生很难理解接受.他们无法理解概念、定理的内涵，甚至不知所云；他们想不通教师所用的方法，总感到自己的方法没有问题.像上述题1的讲解，就有不少学生存在费解现象.

(2)了解.学生明白教师所要表达的意思，但不知所以然，更不知其本质内涵.对于这些知识方法，学生很难运用它们解决实际问题，而且很快会忘记.

(3)悟解.学生对教师所讲的知识方法，达到一定的理解水平，基本领悟、领会这些知识方法.他们能够运用这些知识方法解决一些简单或中等难度的相关问题，当然，还……