郭要红　陈佳佳

(安徽师范大学数学计算机科学学院　241000)

1　引言

《数学通报》2016年9月问题2325[1]如下：

设x,y是满足xy=1的正数，λ≥0，求证：

从指数与项数入手，本文得到了上述不等式的三个推广.

定理1设x,y是满足xy=1的正数，λ≥0，n是正自然数，求证：

(1)

(2)

定理3设x,y>0，xy=1，m≥2，m为整数，λ≥0，有

(3)

2　主要结论的证明

2.1　定理1的证明

(4)

于是，f′(x)≥0等价于

(λx+1)3≥0

3λ2xn+1(x2n+2-1)+2λ3xn+2(xn+1-1)+

x2n(x2n+2-1)+3λx2n+1(xn+1-1)≥0

x3n+2)+3λ2xn+1(1+x+…+x2n+1)+2λ3xn+2·

(1+x+…+xn)+x2n(1+x+…+x2n+1)+

3λx2n+1(1+x+…+xn)]≥0

⟺x-1≥0，

所以，当01时，f′(x)>0，于是，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，故f(x)在(0,+∞)内于x=1处取得最小值，即

也即

(4)式得证，不等式(1)成立.

2.2　定理2的证明

(5)

用数学归纳法证明不等式(4).

当n=1时，不等式显然成立；

当n=2时，由定理1或问题2325供题者的解答[2]知，不等式(5)成立.

不等式(5)成立，欲证不等式(2)得证.

2.3　定理3的证明

欲证不等式(3)，只须证

⟺(x+y+2)m≥22m-1(x+y)

(6)

用数学归纳法容易证明不等式(6)，所以不等式(3)成立，证毕.

3　讨论与进一步研究的问题

3.1　讨论

在定理1中，取n=1，则不等式(1)变为问题2325，定理1是问题2325的推广.

在定理2中，取n=2，不等式(2)变为问题2325，定理2为问题2325的推广，由定理2的证明过程可以看出，欲证定理2，定理1是关键，定理2的证明过程也是定理1的发现过程.文[3]在文末提出了一个问题，文[4]解决了该问题得到了文中的定理1如下：

设a,b,c是满足abc=1的正数，λ≥0，则有

在本文定理2中，取n=3，立得上述不等式，所以定理2是文[4]定理1的推广.

在定理3中，取m=2，不等式(3)变为问题2325，定理3为问题2325的推广.

3.2　进一步研究的问题

在将问题2325的指数从开平方推广至开任意m(m≥2，m为整数)次方，得到定理3后，考虑将定理3再推广至n元，我们倾向于再推广结论是成立的，但久思不得证法，作为进一步研究的问题，特提出如下猜想.