毛克宁

(广东理工学院经济管理学院　526100)

1　引言

据报道和笔者了解，近些年一些商家进行了消费返款销售，所谓消费返款，就是在买者购买商品之后由返款方(如第三方电子商务平台)逐步向买者返还购物款．有一种返款方式是递减式返款，它涉及到了返款金额、返款储蓄以及返款的价值变动等数学问题．一些消费者盲目购买返款商品的重要原因是信息不完全和不对称[1]．他们仅仅想到了商家所宣传的全额返款的“实惠”，却没有考虑到返款方是否守约，也不清楚返款所涉及到的一些数学问题．本文不论及返款销售和返款的运作中是否存在欺诈，仅就递减式返款所涉及的几个数学问题进行分析．

2　递减式返款及其返款金额

所谓递减式返款，就是在买者购买商品之后由返款方按照一个比例r(0

(1-r)-r(1-r)-…-r(1-r)n-1

=(1-r)n，

即当n≥2时，(1-r)-r(1-r)-…-r(1-r)n-1=(1-r)n

(1)

返款方从返款开始，第1天的返还额为ar

第2天的返还额为(a-ar)r=ar(1-r)

第3天的返还额为[a-ar-(a-ar)r]r=

……

第n(≥2)天的返还额为“a减去从第1天到第n-1天的返还额”乘以r．那么根据第1、2、3天的返还额，假设第k(≥2)天的返还额为ar(1-r)k-1，于是第k+1天的返还额为

[a-ar-ar(1-r)-ar(1-r)2-…-ar(1-r)k-1]r

根据数学归纳法原理知，当n≥2时，第n天(一天)的返还额为ar(1-r)n-1，由于第1天的返还额为ar，进而得出当n≥1时，第n天(一天)的返还额仍为

ar(1-r)n-1

(2)

于是第1天到第n天的返还额之和为

ar+ar(1-r)+ar(1-r)2+…+ar(1-r)n-1

=ar[1+(1-r)+(1-r)2+…+(1-r)n-1]

=a[1-(1-r)n],

即返款方从第1天到第n(≥1)天的返还额之和为

An=a[1-(1-r)n]

(3)

若t为整数，则n等于t；否则n等于对t取整后再加1.

3　返款储蓄

因此当n≥1时，

+…+ar(1-r)n-2·(1+ξ)+ar(1-r)n-1

=ar{[1+(n-1)ξ]+(1-r)[1+(n-2)ξ]+…+(1-r)n-2(1+ξ)+(1-r)n-1}.

令Sn=[1+(n-1)ξ]+(1-r)[1+(n-2)ξ]+(1-r)2[1+(n-3)ξ]+…+(1-r)n-2(1+ξ)+(1-r)n-1.

(1-r)Sn=(1-r)[1+(n-1)ξ]+(1-r)2[1+(n-2)ξ]+…+(1-r)n-1(1+ξ)+(1-r)n.

(1-r)Sn-Sn=ξ[(1-r)+(1-r)2+…+(1-r)n-1]+(1-r)n-(n-1)ξ-1

当n>Na时，令n=Na+m,m为正整数,

{1+[(Na-2)+m]ξ}+…+ar(1-r)Na-2·

[1+(1+m)ξ]+ar(1-r)Na-1·(1+mξ)

=ar{[1+(Na-1+m)ξ]+(1-r)[1+(Na-2+m)ξ]+…+(1-r)Na-2[1+(1+m)ξ]+

(1-r)Na-1(1+mξ)}.

令SNa+m=[1+(Na-1+m)ξ]+(1-r)[1+(Na-2+m)ξ]+…+(1-r)Na-2[1+(1+m)ξ]+(1-r)Na-1(1+mξ),

下面用类似于前面求Sn的方法求SNa+m.

将m=n-Na代入上式，得出当n>Na时，

因此当n≥1时，

a