王海彬

摘 要：圆锥曲线部分是解析几何的核心内容，同时也是高考必考知识点，在每年的高考题中总会出现1～2道客观题和1道解答题。即使是客观题一般难度也较大，甚至于出现在选择题或填空题的最后一题，主要知识点为圆锥曲线的基本概念、性质、直线和圆锥曲线的位置关系，重点考查学生等价转化、数形结合、逻辑推理等能力。特别是近年随着向量等多个知识点的融入，综合性和技巧性越来越强，方法灵活多样，学生很难掌握解题的规律。在一次讲解课后作业过程中，笔者偶然发现了一个解决焦点弦相关问题的神级结论，这一结论会给我们解决这一类问题带来意想不到的“神奇”效果！

关键词：圆锥曲线；焦点弦；向量；神级结论

在人教版高中数学选修2-1作业本圆锥曲线部分出现了这样一道题：例：已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为[32]，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若[AF=3FB]，則k等于（ ）。

A.1 B.[2] C.[3] D.2

这道题让我有一种似曾相识的感觉，后来在2010年高考全国卷Ⅱ选择题第12题中找到了它的踪迹。作为一道高考压轴的选择题，我们可以看出这肯定是一道难题，是拉开学生客观题分数的一个秘密武器，同时也是一道值得挖掘的好题。

学生的解法一般如下：

解：∵椭圆C：[x2a2+y2b2=1]的离心率为[32]∴可设该椭圆的方程为： [x24b2+y2b2=1]，即[x2+4y2=4b2]。

设A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），F（[3b]，[0]）。

由[AF=3FB]，可得[y1=-3y2]。

再设直线AB的方程为[x=my+3b]。代入椭圆方程可得[m2+4y2+23mby-b2=0]。

∴[y1+y2=-23mbm2+4y1.y2=b2m2+4]

又∵[y1=-3y2]，∴[-2y2=-23mbm2+4]，∴[]，[-3y22]=[-b2m2+43y22=b2m2+4]∴[b2m2+4]=[9m2b2（m2+4）2]∴[9m2=m2+4]。即[m=22]。

∴[k=1m=2]故选B。

点评：该解法中规中矩，对学生的计算能力要求比较高，但作为一道高考选择题的解法显然不是最优的。