焦淑宁

摘 要：随着新课改的深入，高考对导数的考查逐渐加强，而三次函数问题是中学教材研究导数的重要载体，所以三次函数成为命题中的新亮点。由于三次函数的导数为二次函数，因此，以三次函数为载体，背景新颖独特，利用导数解决的问题在考试中屡见不鲜。下面通过对考题进行分析，以提高学生对三次函数的导数问题的认识。

关键词：数学；三次函数；导数

一、三次函数的单调性问题

例1.已知函数f（x）=4x3+3tx2-6tx+t-1，其中t∈R。

（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间。

解析：第一问考查导数的几何意义，解决关键是求出切线的斜率；第二问通过三次函数求导后得到二次函数，由于二次函数对应的方程根含字母，需要对两个根进行讨论。

（1）当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0，f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6。所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x。

（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t或x=■，因为t≠0，以下分两种情况讨论：

①若t<0，f′（x）<0的解集是■-t；

所以，f（x）的单调递增区间是-∞，■，（-t，+∞）；

f（x）的单调递减区间是■，-t。

②若t>0，f′（x）>0的解集为（-∞，-t）∪■，+∞；

所以，f（x）的單调递增区间是（-∞，-t），■，+∞；

f（x）的单调递减区间是-t，■。

点评：本题是直接考查导数的应用，需要对根进行讨论，增加了问题的难度，此外利用导数判断函数单调性及函数区间应注意：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间。

二、三次函数的最值问题

例2.设f（x）=-■x3+■x2+2ax

（1）若f（x）在■，+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（2）当0

解析：若对于三次函数f（x）在区间[a，b]存在单调递增区间，则只需f（x）的导函数在区间[a，b]上的最大值大于0即可。……