王凤英，陈铃 ，李秀珍

（山东建筑大学 理学院，山东 济南250101）

0 引言

抽象空间的常微分方程理论是微分方程理论的一个重要分支，其在许多应用领域都有广泛的应用［1-9］。目前，已有研究者对抽象空间中的微分方程的理论进行研究。刘衍胜、李海燕分析了Banach空间中一类奇异脉冲微分方程边值问题多个正解的存在性，并且研究了一类奇异泛函微分方程边值问题的多重正解［10-12］；汪会民等研究了二阶非线性脉冲泛函微分方程正解的存在性［13］；景冰清等证明了一类二阶脉冲微分方程边值问题正解的存在唯一性［14］。但是对有偏差变元的脉冲泛函奇异边值问题的研究较少。因此，文章利用锥压缩及锥拉伸不动点定理，讨论了Banach空间中一类具有偏差变元的奇异脉冲泛函微分方程边值问题多个正解的存在性，并通过例子验证其应用的可行性。

1 偏差变元二阶脉冲奇异边值问题描述

令（E，‖·‖）是实巴拿赫（Banach）空间，设J＝［0，1］，0＜t1＜… ＜tm＜1，PC［J，E］＝｛x｜x：J→E，x（t）在 t≠ tk连续，在 t＝tk左连续且右极限存在，k＝1，2，…，m｝，PC1［J，E］＝｛x｜x∈PC［J，E］并且x′∈PC［（0，1），E］｝，J0＝［0，t1］，Jk＝（tk，tk＋1］，k＝1，…，m，tm＋1＝1。可知PC［J，E］关于范数 ‖x‖PC＝为一 Banach空间。

令E中的一个锥为P，引入偏序关系“≤”，当且仅当y-x∈P时有x≤y，类似地，在PC［J，E］中引入偏序关系，当且仅当 ∀t∈ J，x（t）≤ y（t）时有 x，y∈ PC［J，E］，x≤ y。

研究一类具有偏差变元的二阶脉冲奇异边值问题正解的存在性，其由式（1）［10-11］表示为

式中：f（t，x）有可能在 t＝0及 t＝1处有奇异性；a∈ C［J，R＋］并在（0，1）上 a（t）＞0；R＋＝［0，＋∞）；f∈ C［（0，1）×P，P］；Ik∈ C［P，P］，k＝1，2，…，m；θ是 E的零元。

式（1）的解x指x∈PC［J，E］，ax′∈PC1［（0，1），E］且x满足式（1），正解指非负并且不是平凡解，也就是 x∈ PC［J，P］并且 x（t）不恒等于 θ，t∈ J。

2 偏差变元二阶脉冲奇异边值问题正解的存在性

2.1 预备知识

令 x（t）：（0，1］→E是连续的，若存在，就称积分收敛。……