安徽省合肥市第一中学

姚微微 段明贵 (邮编：230601 )

2017年11月笔者参加了安徽省高中数学青年教师优秀课展示评比和观摩活动，并荣获一等奖.本文是笔者在参加比赛过程中的几点感悟，现将呈现这一内容与大家分享.

1 引言

圆锥曲线是必修阶段“平面解析几何初步”学习的继续.学生通过必修阶段“平面解析几何初步”的学习，体验了通过建立方程解决几何问题的过程，对解析几何的思想方法有了初步的理解.但是在必修阶段“平面解析几何初步”的学习中，研究的几何图形是学生熟悉的直线和圆，而对于椭圆、抛物线、双曲线缺乏了解，因此在本章的学习中要求学生采用代数的方法研究这些陌生的图形，更进一步突出了解析几何的思想方法.

本课是学生学习了椭圆之后学习的另一种圆锥曲线，椭圆的研究内容与方法为双曲线的学习作了铺垫，学习方法可以迁移，为学生开展探究性学习提供了参考.在研究过程中，用代数方法研究几何问题需要把几何对象双曲线代数化，也就是在平面直角坐标系中建立它的方程.在代数化的基础上，分析其几何的特征，得出其几何的性质.

2 目标设置与内容解读

本节课的重难点是双曲线的定义及其标准方程的推导．学生需要了解双曲线的定义和标准方程，并且在在推导双曲线标准方程的研究过程中，进一步掌握解析几何中数形结合的基本思想.同时还要让学生们知道双曲线的实际背景，体会双曲线在解决实际问题中的重要作用.

3 学情分析与教学策略

从学生已经学习过的基本概念看，他们已经了解了椭圆定义的概括过程、定义中常数的限定范围、如何建系、椭圆的标准方程的推导过程、如何判断焦点位置等一系列的知识，并且学生已经具备了一定的抽象概括的能力，所以，教师可以让学生类比椭圆抽象概括出双曲线的定义.

从本节课内容看，学生对双曲线的两支的理解有一定难度 ；双曲线及其标准方程的概念与椭圆及其标准方程是比较类似的，在教材的处理上也比较类似，但双曲线却是所有圆锥曲线中学习难度最大的一种.所以在教学中，教师首先要注意与椭圆进行类比，在类比中找到它们的相通处；其次也要注重其不同点，以构建新的数学知识.而且学生在动手操作与利用信息技术协作解决问题等方面，发展不均衡，有待提高.

本节课的难点是双曲线两支曲线的生成过程，双曲线标准方程的推导过程，突破策略主要是：

(1)创设问题情境，让学生从已学过的点、直线、圆、椭圆、抛物线等圆锥面截口曲线入手生成新的未知曲线，以期引入新的课题；

(2)学生动手操作，利用教具实现动点到两定点距离之差的绝对值MF1-MF2=2a(a>0)的点的集合生成过程；

(3)学生适度模仿椭圆抽象双曲线定义的过程，从类比中抽象概括得到双曲线的定义；

(4)学生比较双曲线与椭圆的区别，进一步理解双曲线的定义；

(5)引导类比思考，让学生将已学习过的椭圆和双曲线这一新知之间建立联系；

(6)类比椭圆的定义中的“和”引出“差”，从点的轨迹入手推出双曲线的标准方程.

在本节课的教学中，主要以问题引领展开教学，通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作探究，让学生自主建构双曲线的定义，自主推导双曲线的标准方程．这样做可使学生经历新概念产生的过程，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新概念、解决新问题的方法．

4 教学情境设计与思考

4.1 创设情境 建构概念

引例在两个对顶圆锥的组合体中，用一个平面去截几何体，圆锥的表面与截面相交的曲线有哪些可能呢？

设计意图通过学生已经学习过的熟悉问题入手，自然产生未知的新的疑问：点、直线、圆、椭圆、抛物线都是学习过的，最后一类曲线没有学习过.

问题1同学们，你们还记得椭圆的定义吗？

设计意图激活学生的已有相关经验.进一步类比猜测椭圆定义中的“和”可以改成“差”，学生自然联想，产生新知.

教学片段

生：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合叫作椭圆.

师：这个常数有没有要求呢？

生：这个常数要大于|F1F2|.

设计意图本节课是学生学习了椭圆之后学习的另一种圆锥曲线，椭圆的研究内容与方法为双曲线的学习作了铺垫，为学生开展探究性学习提供了参考.在研究过程中，用代数方法研究几何问题需要把几何对象双曲线代数化，也就是在平面直角坐标系中建立它的方程.

问题2如果把上述定义中距离的“和”改为“差”(学生猜出)，那么点的轨迹是怎样的曲线呢？

设计意图类比椭圆的定义，寻求新知.

4.2 动手实践 生成概念

师生互动利用圆锥曲线教具，学生合作板演双曲线的点的轨迹形成过程.

实验1取两个定点F1,F2，不等长细绳两段，如图(A)所示构成三角形，|MF1|>|MF2|,粉笔放在两细绳交汇点M处，把细绳逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线.

实验2将实验1中的两条细绳调换一下位置，如图(B),使得|MF1|<|MF2|,重新操作一次,笔尖经过的点又画出一条曲线.

设计意图①如果使用几何画板展示，动态的过程确实美丽，但学生不知为什么会得到它们，此时有些惊讶，有些“不明其理”.②多媒体给人太丰富的信息，剥夺了学生想象和深入思考的时空，较难在学生的大脑中留下深刻的烙印.

教学片段

师：当|MF1|<|MF2|时,我们画出了它的图象,那么|MF1|>|MF2|可以吗?

生：当然可以.

师：那么，它的图象又是怎样的呢？

生：与右边相对称的左边.

师：两条曲线合在一起就叫双曲线.

生：‖MF1|-|MF2‖=2a.(a>0)

问题3你能类比椭圆，把刚才作图过程用文字语言提炼出双曲线的定义吗？

设计意图挖掘定义背后的思维形成过程，引导学生类比椭圆给出双曲线的定义.(演示几何画板中双曲线的点的轨迹形成)

4.3 类比探究 推导方程

问题4我们在研究完椭圆的时候，接下来做了什么？

设计意图引导学生类比椭圆的研究过程，自然过渡到标准方程的推导.

教学片段

师：我们在研究完椭圆的时候，接下来做了什么？“形”研究完后，我们就要看看它的“数”了，这个“数”就是它的方程.那么，你们还记得椭圆标准方程的推导过程吗？

生：建系，设点，限定条件，代入，化简.

师：非常好，简称“建设限代化”.

探究互动请同学们回忆一下椭圆的标准方程的推导过程，思考：

(1)如何建系呢？(2) 如何化简呢？(3) 有没有不同的化简方式呢？

设计意图引导学生类比思考，让学生将已学习过的椭圆和双曲线这一新知之间建立联系；并让学生动手参与推导标准方程的形成过程，使得方程成为在教师引导下，学生观察、类比、推导之后的自然产物.

自主探究双曲线标准方程的推导.

设计意图双曲线标准方程的推导是这节课的难点，但是因为前面学习过椭圆的推导，所以学生并不陌生，难点比较容易突破.

教学片段展示学生成果(实物投影)

成果1

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

由双曲线的定义可知2c>2a>0,所以c2-a2>0，从而有

成果2

①

②

由双曲线的定义可知2c>2a>0,所以c2-a2>0.

生：类比椭圆，记c2-a2=b2(b>0),代入上式，得

师：这就是说，双曲线上点的坐标都满足这个方程；反之，可以证明，以这个方程的解为坐标的点都在该双曲线上.这个方程叫做双曲线的标准方程.这条双曲线的焦点在x轴上，其坐标为F1(-c,0),F2(c,0).(为后面的《曲线与方程》埋下伏笔)

思考如果在建系的时候，焦点落在y轴，那么它的标准方程该是什么样呢?

设计意图与焦点在x轴上的双曲线比较，x轴和y轴的位置换了，故标准方程只需将x和y的位置更换即可.(根据学生可能出现不确定的结果预留代数角度解释)

探究互动两种标准方程的比较.

①c2-a2=b2；

②分母是a2,b2,a>0,b>0,但a、b的大小不定；

③如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；

如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.

思考双曲线的标准方程与椭圆有怎样的区别呢？

4.4 辨析概念 例题互动

例1判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出焦点坐标.

设计意图本节内容双曲线与椭圆的标准方程容易混淆，这4个概念辨析题的设置基本上涵盖了新概念的易错点，在辨析过程中加强学生对概念的理解与记忆,使同学们体会解题中的辩证思想——透过现象看本质，变化中抓住不变量.

解法点评紧扣双曲线的标准方程.

例2已知双曲线的两个焦点坐标分别是F1(-5,0)、F2(5,0),双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求双曲线的标准方程.

设计意图让学生在寻找焦点所在轴的过程中，进一步体会双曲线的定义.

变式若焦点为(0，-6)，(0,6)，经过点(2，-5)，求双曲线的标准方程.

设计意图学生分小组讨论，通过学生合作学习，进一步体会双曲线的定义.

4.5 课堂小结 作业布置

课堂小结同学们，这节课你们有什么样的收获呢？

设计意图由学生总结概括本节课所学习的主要内容，教师加以提炼并总结.

作业布置

(1)课本80页 练习1、2.

(2)探究：椭圆与双曲线的共同点及不同点.

(3)上网查阅歌曲：《悲伤的双曲线》.

设计意图布置作业面向全体学生，①旨在学习巩固双曲线相关概念；②通过自学探究，让学生了解椭圆与双曲线的异同点，激发学生的学习兴趣．

5 思考与感悟

上完课后，我静下心来反思，因为是第一天上午比赛，时间上非常仓促，没有时间和学生沟通，也没有过多的时间准备，所以我觉得这节课还有很多值得挖掘、思考和探究的地方：

(1)在让学生板演双曲线的图象过程中，学生实际操作比较困难，画图耽误了很多时间，从而让后面的进程显得有点仓促.这里我应该给予更多的提示和帮助，如果教具能够两人一个，让每一位同学都参与进来，可能效果会更好；

(2)由于时间的原因，双曲线标准方程的推导学生只给出了两种方法，实际上，两边直接平方也是可以继续往下做的，推导如下：

换元，设t=x2+y2+c2

总而言之，参加安徽省高中数学青年教师优秀课展示评比，我受益匪浅，每个参评的青年教师都让我见识到了他们上课时不同的风采，他们新颖的教学方法让我耳目一新，特别是在每节课堂上的一些随机应变非常值得我去学习.作为我们合肥一中数学组新生的力量，在以后的教学中，我要放开手，积极研究探究性的教学方法，让学生自我实践，感悟知识形成的过程，让学生自主完成新知的探索过程，让学生真真正正地体会获得知识的喜悦，这样印象才最深刻.为此，我会努力做到“降低”、“放手”、“等待”.“降低”就是要降低自己的教师身份，与学生面对面，让学生尽量多地参与进来；“放手”就是教师要给学生充分的时间去思考和探究，把表现的机会尽量多地让给学生；“等待”就是教师需要耐心地等待学生自己发现和解决问题.作为教师，我们不仅要分析教材，也要分析学生，挖掘教材的细微处.为此我会继续奋斗，不断反思，让自己的教学更加完善，并尽快成为一名优秀的数学教师.

1 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003

2 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心等.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1[M].北京:北京师范大学出版社,2007

3 徐沥泉著.教学·研究·发现——MM方式演绎[M].北京:科技出版社,2003

4 金明.课堂教学应让学生尽情地“说”[J] .中学数学,2013(5):9-12