上海市青浦区实验中学

范莉花 (邮编：638400)

2018年1月，上海市青浦区一模数学压轴题如下：

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点(点P不与点A、点D重合)，点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ.

(1)当QD=QC时，求∠ABP的正切值；

(2)设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；

(3)联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由.

(第一小题是第二小题的特殊情况，解法相同，第二小题解法如下)

解法一(标准答案)过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ.

易证Rt△ABP≌Rt△HBP和Rt△HBQ≌Rt△CBQ，AP=PH=x，QH=CQ=y，

则PQ=x+y，在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2,

解法二(BH是高,用等积法)过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ.

易证Rt△ABP≌Rt△HBP和Rt△HBQ≌Rt△CBQ，AP=PH=x，QH=CQ=y，则PQ=x+y，

因∠A=∠C=∠D=90°，BH⊥PQ，故S△ABP+S△PBQ+S△BCQ+S△PDQ=S正ABCD.即

解法三(构造基本型)

本题的实测结果不尽如人意，14分的压轴题区平均得分只有2.4分，为什么会出现这样的结果呢？压轴题到底有多难？是不是只有优等生才能做？面对压轴题，教师究竟该如何有效教学？

其实，看到此题，不难联想到下面两道题：

1 2010年黄浦区二模压轴题

如图，一把“T型”尺(右下图)，其中MN⊥OP，将这把“T型”尺放置于矩形ABCD中(其中AB=4,AD=5)，使边OP始终经过点A，且保持OA=AB，“T型”尺在绕点A转动的过程中，直线MN交边BC、CD于E、F两点.(如上图)

(1)试问线段BE与OE长度关系如何？说明理由；

(2)当△CEF是等腰直角三角形时,求线段BE的长；

(3)设BE=x,CF=y，试求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域.

第三小题解法一(标准答案)

在BC上取点H，使BH=BA=4，过点H作AB的平行线，交EF、AD于点K、L(如图)易知四边形ABHL为正方形，EH=4-x,

易证Rt△ABE≌Rt△AOE和Rt△AOK≌Rt△ALK得BE=OE=x，KL=KO.

令HK=a,KL=KO=4-a，EK=x+4-a,在Rt△EHK中，EH2+HK2=EK2,

因为4-x2+a2=x+4-a2,

解法二(AO是高：用等积法)

联结AE、AF,得EC=5-x，DF=4-y，在Rt△ECF中，

因∠C=∠B=∠D=90°，AO⊥EF

故S△ABE+S△CEF+S△ADF+S△AEF=S矩ABCD,

(较多学生想到这种方法，但由于整理的过程较为复杂，成为这种解法的“坎”，部分学……