程蓉

摘 要：数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，蕴含了最丰富的创新教育素材，学生在学习数学概念是养成的思维方式、方法迁移能力也最强。因此，教师在讲授新的概念时，必须要重视和分析概念形成过程，还原概念的本质，让学生更容易理解新概念，更容易对新知识找到共鸣；让学生有更多的机会参与发现，从中感受和谐、连贯、严密、有用的数学之美。

关键词：高中数学；概念教学；方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-063-1

众所周知，概念是思维的基本形式之一，是对一切事物进行判断和推理的基础。数学概念是构成数学知识的基础，是基础知识和基本技能教学的核心，正确地理解数学概念是掌握数学知识的前提，因此，数学概念的教学是数学教学的一个重要方面。在教学中，很多教师比较热衷于各种题型的归类与技巧的强化，希望学生会套用技巧、按程序去解决问题，而对概念的教学，不愿意花大力气去分解剖析。其直接结果是：学生一旦遇到题设、情境稍加改变的问题，因无法套用技巧而束手無策。我认为，数学概念教学应返璞归真，回归课本，回归到概念本质的教学，而避免题海战术及各种方法总结技巧训练。例如我在实际的教学中遇到这样一个问题：

问题：五封不同的信投入三个邮筒

（1）有多少种不同投法？

（2）每个邮筒中至少要有一封信，有多少种不同投法？

解：（1）对每封信来说，有3种投法，分五步把这些信都投完，则共有3×3×3×3×3=35（种）投法。

（2）先从5封信选出3封信投入3个邮筒（保证每个邮筒至少要有一封信），共有A35种方法，再把剩下的2信任意投入3个筒内，有3×3=9种方法，按照分步计数原理，共有A35×9=540种不同的投法。

这是学生学完计数原理初次接触该问题，大部分学生给出的解答过程。第（1）问大部分学生没有问题，讲解重点放在第（2）问，首先给学生举了一个反例：邮筒分别为记为1、2、3，5封信分别记为A、B、C、D、E，如下表所示：

通过具体的例子说明这样做会出现重复，然后强调这类问题要先分组再分配，并且从中总结出“分组分配问题”模型，要求学生记在笔记本上。但是间隔一段时间后，学生解答同类型问题时，依然会出现同样的错解。

通过与学生沟通，了解到学生认为一件事只要分先后顺序完成，就是“分步”，就能用分步计数原理。回顾本人在计数原理这一概念的教学：本人先通过两个问题引入，然后发现总结出原理，个人认为原理比较简单，就把两个原理区别对比，然后就进行例题讲解和课堂训练。由于课堂上没有对原理进行剖析，导致学生对分步的标准，分步各步的方法数互不影响的判断，毫无意识。虽然举了反例，学生也知道错了，但为什么错却一知半解，再次出错也在所难免。

为了让学生真正弄清楚上述问题，本人采取了这样的补偿教学。

首先，通过一个简单的小问题：

从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

让学生回顾分步计数原理内容：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

强调原理本质：如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，（即相对于前一步的每一种方法，不影响下一步方法的选取），那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。

再次，面对学生的错解，可反问学生：这样的分步能否保证第一步与第二步的方法数互不影响？教师可以让学生相互交流讨论，学生通过枚举会发现有重复的分法出现。教师再追问：还能用分步计数原理吗？从而进一步说明原理中“分步”的本质。接着问学生：怎样正确分步呢？学生会想到，应该先把信分成3份，再投入3个邮筒，并形象地称为“先打包，再分配”，从而保证前后方法数互不影响。那么把5封不同的信打成3包，有多少种不同的方法呢？可打成3、1、1三包，有C35×C122=10种方法，打成2、2、1三包，有C25×C232=15种方法，故不同的投法有（10+15）×A33=150种。通过讲解以后，学生知道分步不是简单的分成一、二、三…步相乘就可以，“分步”也是有其标准和原则的。再遇到类似的题目，学生学会了考虑能否这样分步？会不会出现重复？

总之，对概念教学，教师应当把主要精力投入到概念、原理产生发展过程和其本质的探究，并能深入细致地引导学生会用概念原理去分析、解决问题。教师应依据课程标准，认真钻研教材，准确领会教材的编写意图，对教材的基本思想、基本概念，教材的结构，重点与难点都弄清楚。