刘聪明,徐志浩,张云波

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

自旋轨道耦合[1]是量子物理学中基本的物理效应，很多物理现象与其有关。如量子自旋霍尔效应[2],拓扑量子计算[3]等,它在多种物理现象中扮演了核心角色。这些现象导致产生了自旋电子学[4]，拓扑绝缘体[5]、拓扑超导体[6]等当前凝聚态物理中最重要的前沿研究领域。

在冷原子领域,我们关心的是原子气体的自旋和动量等,但是由于其整体是中性的,因此并不存在天然的自旋轨道耦合效应。2009年,NIST的研究小组通过拉曼光和原子内部的能级耦合作用,在冷原子气体中实现了规范场[7],后来他们又实现了玻色原子气体的一维自旋轨道耦合[8]。2012年,山西大学[9]和MIT的研究小组[10],分别实现了费米冷原子气体的一维自旋轨道耦合。最近由中国科学技术大学和北京大学联合团队以及山西大学的张靖组分别提出并实验实现超冷原子二维自旋轨道耦合的人工合成[11-12],其为研究新奇量子物态奠定了良好的基础,它将对冷原子和凝聚态物理产生重大影响。

本文主要研究二维正方晶格中自旋轨道耦合效应对于体系能谱以及拓扑性质的影响。

1 理论模型

考虑无相互作用的具有自旋轨道耦合的费米气体被捕陷在二维的正方晶格中,紧束缚近似下(只考虑最近邻跃迁),其哈密顿量为

(1)

(2)

tx,↑=-tx,↓=t,ty,↑=-ty,↓=t,

(3)

(4)

这里α为x方向自旋轨道耦合的强度,β为y方向自旋轨道耦合的强度。α=β时,自旋轨道耦合的类型为Rashba型;当α=-β时,自旋轨道耦合的类型为Dresselhaus型。α或β其中一个为0时,二维的自旋轨道耦合变为一维的自旋轨道耦合。整个系统中我们设t为能量单位。

为了研究二维具有自旋轨道耦合方格子的性质,我们首先计算其能谱,在周期边界条件下,利用傅里叶变换

(5)

其中N表示二维晶格中格点的数目,可将哈密顿量转化到动量空间,可以得到

H(k)=d(k)·σ,

(6)

上式中σ=(σx,σy,σz)是泡利矩阵,d(k)=(dx,dy,dz)是布洛赫矢量,其中,dx=2βsinky,dy=2αsinkx,dz=-2t(coskx+cosky)。该模型满足粒子空穴对称性,且在α或β等于0时具有手征对称性,但不满足时间反演对称性,当α和β不等于0时,手征对称性被破坏。对角化此系统哈密顿量得到其能量本征值为

(7)

2 系统能带的线性色散关系

(8)

(a)The energy band diagram for α=β=t；(b)and(c)show the band dispersion forα=t and β=0,0.2α,0.4α and α,which can be obtained in the vicinity of contact of the energy band in the qy and qx directions, respectivelyFig.1 Energy band diagram and dispersion of the system(a)α=β=t时,体系的能带图；(b)和(c)表示α=t,β=0,0.2α,0.4α和α时,在能带接触点附近,能量分别在qy和qx方向,能带所呈现的色散关系图1 体系的能带图和色散关系

3 系统的边缘态

为了研究系统边界态特征。我们选取系统在x方向为开边界条件,y方向为周期边界条件,即只在y方向做傅里叶变换,而x方向不变[18],其形式为

(9)

这里Ny为晶格沿y方向的格点数目。从而系统的哈密顿量变为

(10)

我们令α=t,β取0,0.2α,0.4α和α时,从而获得系统的能谱图。在图2(a)中,我们发现,在β=0,系统有2重简并的零模边缘态,这是系统具有手征对称性的体现。图2(b)为图2(a)中ky=0.5π时零模边缘态的密度分布情况。可以看到,对应于零模边缘态,粒子分别局域在系统的左右边界。而在离开β=0点处,系统的手征对称性被破坏,简并的零模边缘态也发生破坏,两支边缘态逐渐分离,随着β值逐渐增大,边缘态的能量逐渐向体态能量靠近,但在ky=0.5π处,边缘态始终稳定存在,不会随β增大演化成体态,如图2的(c),(d)和(e)所示。

而如果y方向取开边界条件,x方向取周期边界条件,那么若β=t,在α=0,系统出现简并的零模边缘态,而在离开α=0点处,简并的零模边缘态也发生破坏。通过改变β/α的比值,可以发现系统中边缘态始终存在,而边缘态的存在,表明系统具有非平庸的拓扑性质。

Fig.2 Shows that, with α=t and the changing of β, the edge state of the system is correspondinglychanging (a)β=0;(c)β=0.2α;(d)β=0.4α;(e)β=α;(b) shows the density distributionsalong the x direction corresponding to the zero mode edge statesat ky=π/2 in (a), and the number of lattice sites is Nx=40(a)β=0;(c)β=0.2α;(d)β=0.4α;(e)β=α;(b)对应的是(a)中ky=π/2 处简并的零模边缘态沿着x方向的密度分布,其中格点数目为Nx=40图2 展示了α=t,随着β值的变化,系统边缘态相应的变化

4 结论

本文主要研究了自旋轨道耦合对二维正方晶格系统能带和边缘态的影响。首先给出理论模型,利用傅里叶变换将哈密顿量转换到动量空间,给出系统的能量本征值,由于系统始终存在2个能量简并点,所以其具有半金属的特性。在能量接触点附近做二阶泰勒展开,得到其低能有效哈密顿量,从而确定了自旋轨道耦合的相对强度对色散关系的影响。随着耦合强度由弱变强,其能带的色散关系由非线性逐渐转变为线性,而边缘态随着自旋轨道耦合强度的变化,由简并零模边缘态到简并的破坏,到最后边缘态逐渐向体态方向演化。边缘态的出现和一直存在说明系统具有非平庸的拓扑性质。

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