☉江苏省南京金陵中学河西分校 李玉荣

一、问题再现

题目：如图1，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）.

A.BD＜2 B.BD=2

C.BD＞2 D.以上情况均有可能

这是2017年湖北省黄石市中考数学试卷选择题的压轴题，主要考查等腰三角形的性质、平行线的判定方法、平行四边形的判定方法、三角形的两边之和大于第三边、三角形的内角和定理

等数学知识和方法，可以说是命题者精心设置的一道有分量的考题，但不幸的是用选择题的方式来考查，考生极易猜想到答案为A.笔者所在的学校在八年级学习“平行四边形”检测时选用此题，正确率就超过90%，可见题目被学生“秒杀”了，但事后追问学生怎样求解的，能给出解题方法的寥寥无几.如何深入研究和备课，挖掘问题的丰富内涵，使得难题在教学中不至于“轻轻滑过”，从而追求更有深度的讲评效果？笔者引导学生借助“合情推理”的结果，跟着感觉探寻破解问题的方法，体现了“一题一课”简约、自然的教学理念.

图1

二、问题解决

根据图形特点，合情猜想AB=BC=CD=DE=EA=AC=1，于是需证明四边形ACDE为平行四边形或三角形ABC为等边三角形，只需证明AE∥CD或∠ABC=60°.为此，怎样用好题设“∠DBE=∠ABE+∠CBD”成为解题的关键.

思路1：由AB=AE，BC=CD知，∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，所以∠DBE=∠AEB+∠CDB，从而联想到一个与平行线相关的基本图形“ ”，可证明AE∥CD，得到以下四种解法.

解法1：因为AE=AB，所以∠ABE=∠AEB.

同理∠CBD=∠CDB.

因为∠DBE=∠ABE+∠CBD，

所以∠DBE=∠AEB+∠CDB.

因为∠DBE+∠BED+∠BDE=180°，

所以∠AEB+∠CDB+∠BED+∠BDE=180°，

即∠AED+∠CDE=180°，所以AE∥CD.

因为AE=CD，所以四边形AEDC为平行四边形.

所以ED=CD=1，所以BC=CD=1，

在△BCD中，因为BD＜BC+CD，所以BD＜2.故选A.

解法2：因为AE=AB，所以∠ABE=∠AEB.

同理∠CBD=∠CDB.

因为∠DBE=∠ABE+∠CBD，

所以∠DBE=∠AEB+∠CDB.

如图2，作BG∥AE，则∠AEB=∠EBG，

所以∠CDB=∠DBG，

所以BG∥CD，所以AE∥CD.

因为AE=CD，所以四边……