☉江苏靖江外国语学校 丁晓艳

最近，我们在某微信公众号看到一份“一次函数的再认识”的复习资料，作者指出：对一种事物从不同角度认识它，用不同的方法分析它，我们对它的理解就越来越深刻，就更容易领悟它的本质，并能感受事物之间的联系与统一.并且把一次函数与诸多数学知识进行了联系，大开眼界，笔者以为，值得我们在中考一轮复习时适当引用.下面就先摘引相关观点，并跟进教学思考，供研讨.

一、一次函数的再认识

再认识之一：一次函数与三角函数.

1.如图1，斜坡AB的坡度i为1：2.坡度是指倾斜程度，它还与倾斜角∠B的大小有关，等于∠B的正切值，或斜边所在的垂直高度与水平长度的比.

图2

图1

2.如图2，直线y＝kx＋b中k的几何意义：k代表直线的倾斜程度.

可见，既然都是倾斜程度，图2中的k与∠ABO的正切（AO∶BO）恰等于坡度i.它们是一回事！k为正时是上坡，k为负时是下坡.

再认识之二：一次函数与等差数列.

我们知道，数列3，7，11，15，19，…，第n项表达式是a＝3＋4（n－1）.

显然，数列的项a与项数n的关系式为a＝3＋4（n－1），整理为a＝4n－1，可见a与n的关系是一次函数关系（可用图3来表示数列），其k值就是公差.当k为正时递增，当k为负时递减.

图3

再认识之三：k与速度（单价、工作效率等）的关系.

如图4，表示行驶路程y（km）与行驶时间t（h）的关系，AB段的速度是60km/h，AB段对应的一次函数关系式中的k恰为60.

可以发现：k值即是速度.同理，在金额与数量的函数关系中，单价就是k值，在工程问题中，工作效率就是k值.

认识到这一点之后，我们可以直接写出AB段的函数关系式，比如，y＝80＋60（x－1），y＝80－60（1－x），y＝260－60（4－x），y＝260＋60（x－4），整理之后都是y＝60x＋20（1≤x≤4）.

再认识之四：一次函数、等差数列、坡度、正切、速度（单价、工作效率等）的联系.

现在我们把以上图形中的两个量的比值在图5～图8中标注出来，对比观察一次函数的k值、等差数列的公差、坡度、正切、速度、单价的共同点.

图4

图5

图6

图8

可见，它们的共同点：都是两个量的比值.这种比值还有另一种意义：单位增量.具体来说，速度为k千米/小时的意义是：时间每增加1小时，所行的路程就增加k千米.

单价为k元/千克的意义是：数量每增加1千克，商品的金额就增加k元.

坡度为k的意义是：斜坡的水平距离每增加1千米，对应的垂直高度就增加k千米.

公差为k的意义是：数列的项数每增加1，项的值就增加k.

一次函数k的意义是：x值每增加1个单位，对应的y值就增加k个单位.

可见，一次函数是对上述实际问题的抽象和概括.它的本质特征是定比，即每一段函数对应的函数值y的变化量与自变量x的变化量的比值一定.

再认识之五：一次函数表达式的多样解法.

例1如图9，求直线AB的函数关系式.

分析：初中教材介绍的多是待定系数法，略去不说，这里再介绍一种算术方法列式计算.

图9

例2某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据，如下表：

售价x/（元/千克） 30 35 40 45 50日销量p/千克 600 450 300 150 0

请根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式.

分析：当x成等差数列时，y值也是等差数列，符合一次函数特征.可以设y＝kx＋b，用待定系数法列二元一次方程组确定k、b的值.

例3一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图10所示：

图11

图10

分析：解答这道经典考题的关键是各个折线段的函数关系式，简示如图11.

二、关于中考一轮知识点复习的教学思考

1.一轮复习时知识点的梳理要注意跨年级关联整合.

当前很多中考一轮复习的学案或教辅资料中，总是限于某一个单元的知识点进行知识梳理或性质回顾，比如，对于一次函数，在中考一轮复习时，常常与八年级单元复习无甚区别，这种“无差别”的复习课备课思路，属于辨识年级复习重点不清的表现.从上文中梳理的一次函数的再认识来看，就不仅仅满足于八年级学习一次函数的一些知识点与性质，而是打破年级的界限，关联、沟通了一次函数、正切函数、等差数列（初中没有系统学习，但是在很多规律问题中非常多见）、行程与工程等应用问题，值得借鉴.

2.一轮复习时例、习题的讲评要选用不同算法或证法.

一轮复习侧重基础知识的梳理、基本方法的回顾，还有经典问题的快速与精准解答，所以一轮复习往往会精选一些此前学生在新授课阶段已反复练习过的一些典型问题（往往也是必考题型），这时就不能只是满足于一种解法或核对答案，怎样做到“老歌新唱”？笔者以为，像上文例题部分从不同角度来求解一次函数的解析式就是一种值得学习的方式，因为到了中考复习阶段，绝大多数学生对待定系数法已经非常熟练，如果再练一次待定系数法，只是增加熟练程度，而能够引入另外的方法（有时让学生来展示他们独特的解法也是值得注意的），可以开拓学生的解法视角，让他们知道“殊途同归”，掌握不同方法解决经典问题可以进行解法之间的“校正”，以免一种方法求解时出现笔误等低级失误.

3.一轮复习时要注意引导学生用“高观点”回看旧知.

一轮复习侧重基础知识，怎样把这些基础知识纳入到高观点来加以理解，让零散的知识点“串珠成线”是中考复习的追求.像上文这样，把一次函数的一次项系数k从更广泛的背景下进行关联理解，深刻理解一次函数作为一种数学模型的重要性.这样的案例还有很多，如七、八级很多分析代数式的最值问题，可以从二次函数最值的“高观点”来思考，一元二次方程根的判别式问题，可以结合二次函数的图像与直线交点问题“高观点”来思考，直线型几何很多边、角的关系，包括一些辅助线的添加等，都可以从圆的“高观点”来思考.

三、写在后面

中考一轮、二轮复习侧重于知识点和题型复习是很多地方形成的“教学惯习”，然而怎样基于考情、学情，进一步重组复习内容，聚焦考查重点、热点与难点，仍然值得我们深入思考.本文由一篇网络传播的公众号文章说起，分享其对我们的一些启示，特别是基于高观点的理解与认识，值得大家倾听和研习.当然，我们的解读、赏析还是很初步的，期待更多的批评与指正.

参考文献：

1.刘东升.关联性：一个值得重视的研究领域［J］.中学数学（下），2013（12）.

2.张玉萍.把问题作为教学的出发点——由曹才翰先生的一篇评课文献说起［J］.中学数学（下），2016（12）.

3.鲍建生，顾冷沅等，变式教学研究［J］.数学教学，2003（1、2、3）.