考点一：平行四边形的性质与判定

例1 如图1，将?ABCD的AD边延长至点E，使DE=[12]AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长.

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵DE=[12]AD，F是BC边的中点，

∴DE=FC，DE∥FC，

∴四边形CEDF是平行四边形.

（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，

∴∠BCD=∠A=60°，

∵AB=3，AD=4，

∴FC=2，NC=[12]DC=[32]，DN=[332]，

∴FN=[12]，则DF=EC=[DN2+FN2]=[7].

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键.在证明时我们要根据已知条件选择合适的判定方法，运用平行四边形的性质时，要从边、角、对角线等方面去考虑问题.

考点二：特殊的平行四边形的性质与判定

例2 如图3，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形.（直接写出答案，不需要说明理由）

【解析】（1）证△CFG≌△DEG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出即可.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CF∥ED，

∴∠FCG=∠EDG，

∵G是CD的中点，

∴CG=DG.

在△FCG和△EDG中，

[∠FCG=∠EDG，CG=DG，∠CGF=∠DGE，]

∴△FCG≌△EDG（ASA），

∴FG=EG，又∵CG=DG，

∴四边形CEDF是平行四边形.

（2）①如图3，过A作AM⊥BC于M，求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形”推出即可.故答案为：3.5.

②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE=CD，根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”推出即可.故答案为：2.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、矩形的判定.注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.

考点三：特殊四边形与图形变换……