考点1 三角形的三边关系

例1 （2017·淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）.

A.14 B.10 C.3 D.2

【分析】已知三角形的两边求第三边时，依据“已知两边的差（长边减短边）<第三边<已知两边的和”构造不等式组求解.

解：设这个第三边长为a，根据“三角形三边之间的关系”得8-5

【点评】判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.

考点2 三角形的内角和

例2 （2017·郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图1摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）.

A.180° B.210° C.360° D.270°

【分析】题中已知一副三角板六个内角的度数，∠α、∠β是三角形的两个外角，要求∠α+∠β度数，可以考虑利用三角形的外角性质转化为三角板的内角度数来求解.

解：如图2，不妨设AB与DE交于点G，EF与AB交于点H，由三角形的外角性质可知：∠α=∠A+∠AGD，∠β=∠B+∠BHF，由于∠AGD=∠EGH，∠BHF=∠EHG，所以∠AGD+∠BHF=∠EGH+∠EHG=180°-∠E=180°-（90°-∠D）=120°，所以∠α+∠β=∠A+∠B+∠AGD+∠BHF=90°+120°=210°，故应选B.

【点评】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出待求角与已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角性质求解.

考点3 全等三角形的性质与判定

例3 （2017·常州）如图3，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.

（1）求证：AC=CD；

（2）若AC=AE，求∠DEC的度数.

【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE，结合已知条件∠BAC=∠D， BC=CE，利用“AAS”可以证明△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质即可得证.

（2）根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠CAD=∠D=45°，又AC=AE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求∠AEC的度数，然后依据平角的定义求∠DEC的度数.

（1）证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

∴∠BCA=∠ECD.

在△BCA和△ECD中，

[∠BCA=∠ECD，∠BAC=∠D，BC=CE，]

∴△BCA≌△ECD，

∴AC=CD.

（2）解：∵∠ACD=90°，AC=CD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴∠DAC=45°，

∵AC=AE，

∴∠AEC=∠ACE=[12]（180°-∠DAC）

=[12]（180°-45°），

∴∠DEC=180°-∠AEC

=180°-[12]（180°-45°）

=112.5°.

【点评】证明两条线段相等或两个角相等时，通常采用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等.

考……