江苏省宜兴第一中学(214205) 花雨 杜亚强

苏教版教材必修1“函数与方程”一节给出了如下零点存在定理:

定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

在具体解题中,尤其是在解与零点有关的证明题中,如何确定a,b的值,经常成为一个难点.

题目设函数讨论f(x)的零点个数并证明.

解f(x)的定义域为(0,+∞),(1)当a≤0时,f(x)＞0,f(x)没有零点;(2)当a＞0时,因为,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.因为所以当a＞0时,f(x)存在唯一零点.

提出问题本题中的f(a)和是如何发现的?

例1若函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,求实数a的取值范围.

解由f(x)=lnx-x-a,得所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,f(x)取得最大值,且最大值为f(1)=-1-a.事实上,由f(1)=-1-a＞0,可以得到a＜-1;此时可取x1=ea∈(0,1),有f(ea)=-ea＜0;取x2=-2a∈(1,+∞),有f(-2a)=ln(-2a)+a.令在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减,故当x=2时,g(x)取得最大值,且最大值为g(2)=ln2-1＜0,所以x∈(1,+∞)时,g(x)＜0.所以f(-2a)=ln(-2a)+a＜0.

评析若函数f(x)有两个不同的零点,当且仅当下列三个条件同时成立;

①f(1)=-1-a＞0;②∃x1∈(0,1),使得f(x1)＜0;③∃x2∈(1,+∞),使得f(x2)＜0.

图1

首先来看解法中的x1=ea,x2=-2a是如何得到的,先考虑条件②∃x1∈(0,1),使得f(x1)＜0.在同一坐标系中作出y=lnx和y=x+a的图像,使它们交于两点,如图1.直线y=x+a与y轴交于点(0,a),作直线y=a与y=lnx的图像交于点(ea,0),因为a＜-1,所以ea∈(0,1),f(ea)=lnea-ea-a＜0.

下面考虑条件③∃x2∈(1,+∞),使得f(x2)＜0.过原点作函数y=lnx的图像的切线:该直线与直线y=x+a相交.为便于计算交点坐标,选择过原点且斜率在区间上的直线得x=-2a∈(1,+∞),f(-2a)=ln(-2a)+a＜-a+a=0.对于ln(-2a)＜-a,可以构造函数进行证明.当然如果平时能够有意积累一些不等式,对于寻找解题思路无疑是有益的.

方法在以上解题过程中,有几个要点需要总结:

(1)令f(x)=0,通过移项……