王 鹏

（吉林省集安市第一中学 吉林集安 134200）

引言

Lagrange中值定理是研究函数在区间全体性质的有力工具，是微分学的核心定理。所以一直备受人们的关注。但人们往往只注意定理的内容，而对定理的应用不是很灵活。本文针对Lagrange中值定理给出了几个方面的应用。

一、预备知识

函数在某一点的导数只反映了函数在局部或小范围内的性质，但在实际问题中我们往往需要讨论函数在全局或大规模范围内的性质。特别是，有必要从函数的导数给出的局部性质推导出其整体性质或大规模性质。所学的微分是用自变量的变化量和起点的导数值来表示函数变化的近似值。

然而，这只是一个近x似方程（一般说来，其误差只在Δx→0时才趋向零），而且只在0附近可用，所以它不适用于解决所提出的问题。然而，这个精确的方程可以得到：只要在起点（1）的导数值f′(x0)被x0与x之间的某一点ξ的导数值f′(ξ)所取代。即

其理论根据就是Lagrange中值定理。

定理1 (Lagrange中值定理) 设函数f(x)满足条件①f(x)在[a，b]上连续。②在(a，b)内可导ξ，

则在(a，b)内至少存在一点(a＜ξ＜b)，

推论2 如果f(x)在开区间(a，b)内满足f′(x)=0，那么在(a，b)内f(x)=C.

主要描述函数在一定区间上的增量与函数在该区间上某一点上的导数之间的关系。因此，它也被称为有限增量定理。因此，在研究函数的增量与导数的关系时，都可以用Lagrange中值定理来尝试。

二、Lagrange中值定理的应用

1.证明不等式

若函数f(x)满足Lagrange中值定理的条件，则可得：

可得到f′(ξ)的一个取值范围。从而这样就有了一个值的范围，对应于不等式，这是使用Lagrange中值定理证明不等式的基础。……