由偏差平方和分解公式我们知道，残差平方和越小，回归平方和就越大，回归变量[y]（亦即解释变量x）对预报变量y的贡献就越大，用回归变量[y]作为预报变量y的估计值就越准确，从而x与y的线性相关性就越强。在偏差平方和分解公式的两边同除以[i=1n（y1-y）]2，我们得到：

[i=1n（yi-yi）2i=1n（yi-y）2]+[i=1n（yi-y）2i=1n（yi-y）2]=1。

等式左边第一项是随机误差ε对预报变量的贡献率，第二项是回归变量[y]（亦即解释变量x）对预报变量y的贡献率。记：

[R2=i=1n（yi-y）2i=1n（yi-y）2]=1-[i=1n（yi-y）2i=1n（yi-y）2]。

[R2]叫做相关指数。

学习《数学（选修）》，感觉相关系数与相关指数是两大难点，只要突破这两点，线性回归的学习就容易多了。本文沿着课本上用最小二乘法求线性回归方程的系数的推导做下去，揭示相关系数与相关指数的来龙去脉和它们的关系。

已知n组数据[xi，yi]，[i=1，2，3，…，n]，设线性回归模型为：[y=y+ε]。其中[y=a+bx]，将这n组数据代入回归模型得：

[yi=yi+εi]，[i=1，2，3，…，n]，其中[yi=a+bxi]。

残差平方和[Qa，b]=[i=1nε2i]=[i=1n（yi-yi）2]=[i=1n（yi-a-bxi）2]。

记[x=1ni=1nxi]，[y=1ni=1nyi]，则

[Qa，b]=[i=1nyi-y+y-a+bx-bxi-x2]

=[i=1nyi-y2]+[ny-a+bx2]+[b2i=1n（xi-x）2]

+[2y-a+bx·i=1nyi-y-2by-a+bx·i=1nxi-x]

-[2bi=1nxi-xyi-y]，

其中，[2y-a+bx·i=1nyi-y-][2by-a+bx·i=1nxi-x]

=[2y-a+bxi=1nyi-y-bxi+bx]

=[2y-a+bxi=1nyi-bxi-y-bx]

=[2y-a+bxi=1nyi-bxi-ny-bx]=0

所以，[Qa，b]

=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+b2i=1nxi-x2-2bi=1nxi-xyi-y]

=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+i=1nxi-x2b2-2bi=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2]

=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+i=1nxi-x2b-i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x22]

[-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2]。

由于[xi，i=1，2，3，…，n]这n个数据一般不会相等（否则这n对数据已经在一条平行于y轴的直线上了，再求回归直线已失去意义），所以

[i=1nxi-x2≠0]

观察上面最后的表达式，其中[yi，y，n，x，xi]都是常数，而含a，b的兩项是非负数，当且仅当它们等于0时，[Qa，b]取最小值，这就是说，当

[b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2]，[a=y-bx]

时[Qa，b]达到最小值。

以上是课本上利用最小二乘法求线性回归方程系数的过程。我们沿着这个思路继续下去，就能得到相关系数和相关指数。

一、相关系数r的产生

由上面的推导可知，在[b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2]，[a=y-bx]

时，[Qa，b]达到最小值，最小值为

[m=i=1nyi-y2-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2]=

[i=1nyi-y2[1-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2i=1nyi-y2]

记[r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2]，则[m=i=1nyi-y21+r2]。

m的值就是残差平方和的最小值，m的大小就能描述变量[x，y]的线性相关的程度，m越小，变量[x，y]的线性相关程度就越……