陈嘉璐

摘要： 样本估计总体是高中数学统计学中的研究分析相关数据的有效手段和方法，由于人们的时间和精力是都有限的，无法采取到所有的数据，因此可以采用典型样本数据获得总体信息的方法来获取有效信息。样本估计总体基于随机分布的数学概念，即在样本容量足够大的前提下，数据具有随机性，换句话说，只要数据足够多，那么选取大数据中的其中一小部分，这一小部分中的数据也能够反映大数据的信息，因此样本常用来估计总体。文章基于高中生视角，以全面化客观化的角度分析思考问题，对高中数学统计学样本估计总体作一个总结。

关键词： 高中数学；样本估计总体；高中生视角；学习体会

基于样本容量足够大的前提，数据的分布均有随机性与平均性，因此样本可以估算总体数据，但也是需要方法和技巧的，不能无凭无据地估算总体数据，只能运用数学思维科学计算来估算。在估算时候需要严谨与细心，具体条件具体分析，样本估算整体有多种方法，因此要根据实际情况选择有效方法。

一、样本频率估计整体

只要数据足够多，那么数据的排列会变得没有顺序，因此样本中的频率适用于估算整体的频率，而样本频率的判断方式有许多种，一般用图表将样本频率直观清晰地表示，如频率分布表、频率直方图、总体密度曲线、茎叶图三个角度等等，根本实际需要作出符合要求的图形从而获得有代表性的数据。样本频率估算整体的图形选择有很多种，因此要根据题目所给信息具体选用图形，以下将这些图形曲线一一阐述：

1.频率分布表与频率直方图的应用 频率分布表与直方图需要重点把握频数和频率，频数是指在某个范围内数据出现的次数，频率某一数据在某个范围出现频率计算方法是频数除以数据的总数（即样本容量）。例如在一个样本中，数据分别为1，3，3，4，5，6，6，6，6，7，选取6作为参考数据，那么6的频数为4，样本容量为10，那么6的频率为频数4除以样本容量10结果为百分之四十，如果选取7为参考数据，7的频数为1，样本容量为10，那么7的频率为1除以10等于百分之十。频率分布表与直观图主要对具体某个数据进行分析研究，因此在强调数据的题型，较多的运用这种方法估算数据，通过这种方式，高中生能够直观并清晰地从样本了解到整体。

2.总体密度曲线反映数据趋势 基于样本容量无限增大，分组间的组距不断减小，就能够得到一种总体密度曲线，这反映了总体的变化趋势，通过这条曲线，就能够清晰的得知各种数据占总体的百分比。需要注意的是，总体密度曲线的获得需要数值区间与频数，通过区间的中点将其一点点连接，就能够得到一条光滑的曲线，在这种样本中的曲线能够有效估算整体数据，最后得到有效地结论。这种样本估算总体的方式不适用于个别数据或是分组的求解，而是适用于整体数据的分布情况，通过整体数据反映出数据的趋势。

3.茎叶图保留原始数据，并让数据直观有效 茎叶图没有原始数据的缺失，却難以直观地判断样本的频率，也无法直观得出数据的频率，但它的好处在于方便记录，可随时添加。茎叶图不仅适用于两位数的数据，三位数四位数也可以适用，通过高位数与低位数的不同排布，人们可以通过对所有的数据进行全面与直观的了解，这多用于统计种各数据或是直观了解所有数据的题型中。在很多种情况下，茎叶图的应用是判断样本整体信息的最好方式，但估算总体偏差较之前者慧更大。

二、样本数据特征估算总体

样本数据特征估算总体是另一种方法，也是基于总体容量足够大，数据的分布具有随机性和无序性的大前提，样本数据特征能够有效反映总体数据，在很多情况下都比样本频率与频数分布要准确地多。高中数学统计学通过样本数据特征估算总体的特征有很多，选取三个主要方面进行分析阐述：

1.众数、中位数、平均数的应用

当需要反应总体的特征时，通过以样本的数据特征来估算总体特征，如众数，中位数，与平均数，众数是样本数据中频数最多的数，根据正态分布以及随机数分布的规律，众数是密度曲线的分水岭或是临界点，越靠近众数的数据频率分布越高，越远离众数的数据频率越低，因此众数常作为衡量的标准（但也没有绝对）。中位数是样本数据中最中间的数，通常在稳定的数据分布中与众数接近（同样无绝对），这里需要注意的是，当所有的数据个数为奇数时，可以选取最中间的数，当所有数据个数为偶数时，则要将最中间的两个数据相加再除以二，得出的值才为中位数。平均数是整体数据相加除以数据个数得到的数值，一般来说，平均数是最能够反映整体数据的信息的，但无法反映数据的趋势与变化规律。在用样本数据来判断分析总体数据时，要众数，中位数，平均数三个数值结合判断，不能够光从单个数值出发计算，否则得到的信息同样是不准确的。

2.标准差、方差的应用

标准差与方差反映了数据分布的离散性和趋中性，通过将样本中所有的数据加权平均得到，标准差是方差的平方，将所有数据加权平均的意义在于使答案恒为正数。标准差与方差适用于反映数据的集中趋势，当标准差与方差过大时，反映了数据无法均匀排布，随机性较大，当标准差与方差过小时，反映了数据均匀排布，区中性较大，因此通过标准差与方差的应用，人们能够得知数据的稳定性与整体变化趋势，因此适用于整体数据的有效信息求解。

综上所述，样本估算整体是高中数学统计学里为了减少时间与人力成本而使用的通过以偏求全的一种高效获得信息的方式，然而真正掌握这样的方法并不容易，首先要知道各种图表与数据的意义和被赋予的数学概念，还要清晰的知道具体求解的是什么，是整体数据的趋势还是具体的值，通过一系列的分析，正确的计算后，就能够获得相关有效信息。

参考文献：

[1]孙建平，吕效国，陆利平.概率论与数理统计学习策略的统计分析[J].高师理科学刊.2011-09-30

（作者单位：江西育华学校高三（3）班 330027）