邓艳

摘 要：第二类曲面积分既是高等数学教学中的一个重点，也是一个难点。其计算方法灵活多样，本文主要介绍对称性在第二类曲面积分计算中的应用，这是一种十分有效而又灵活简便的方法。

关键词：第二类曲面积分；奇偶对称；轮换对称

第二类曲面积分的计算既是高等数学教学中的一个重点，也是一个难点。从学员反馈情况来看，总体掌握不是很好，对称性是积分运算中经常遇到的一种技巧，有效的运用对称性，可以达到简化计算的目的。为此，本文不仅给出了当空间区域关于坐标面或原点对称，且定义在该区域上的函数具有相应的奇偶性时的简化计算公式，还介绍了轮换对称性在第二类曲面积分计算中的应用。

一、奇偶对称性在第二类曲面积分计算中的应用

1.设分块光滑的定向曲面∑关于xoy平面对称，∑在xoy平面上方部分记为∑1（方程为z=z（x，y），（x，y∈Dxy）），下方部分记为∑2，又设R（x，y，z）在∑上连续，则：

[∑Rx，y，zdxdy=0，若R关于z为偶数 2∑1Rx，y，zdxdy，若R关于z为奇函数]

证明：

[∑Rx，y，zdxdy=∑1Rx，y，zdxdy+∑2Rx，y，zdxdy]

由[∑1]的方程可得[∑2]的方程：[z=-zx，y，（x，y）∈Dxy]，设[∑1]的法向量与z轴正向成锐角，于是[∑2]的法向量与z轴正向成钝角，将面积分化为二重积分得：

[∑1Rx，y，zdxdy=DxyRx，y，z（x，y）dxdy]

[∑2Rx，y，zdxdy=-DxyRx，y，-z（x，y）dxdy]

[=-DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R关于z为偶函数，DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R关于z为奇函数。]

两式相加即得结论。

同理可证对于[∑Qx，y，zdzdx]与[∑Px，y，zdxdy]有类似结论。

2.设分块光滑定向曲面∑关于原点对称，记同向对称的有向曲面为[∑1]和[∑2]，又设[R（x，y）]在∑上连续，则：

[∑Rx，y，zdxdy=0，若R-x，-y，-z=Rx，y，z 2∑1Rx，y，zdxdy，若R-x，-y，-z=-Rx，y，z]

同理对于[∑Qx，y，zdzdx]与[∑Px，y，zdxdy]有类似结论。

二、轮换对称在第二类曲面积分计算中的应用

轮换对称是指将坐标轴重新命名，如果积分区域的函数表达式不变，则被积函数中的也作同样的变化后，积分值保持不变。

即：若[?x，y，z∈∑，?y，z，x，z，x，y∈Ω]则：

[∑fx，y，zdydz=∑fz，x，ydxdy=∑fy，z，xdzdx]

特别地：

[∑fxdydz=∑fydzdx=∑fzdxdy]。

例1.求[I=∑x2dydz+zdxdy+ydzdx]，其中[∑∶z=4-x2-y2]上侧。

解：由于[∑∶z=4-x2-y2]关于yoz平面对称，[x2]是关于x的偶函数，所以[∑x2dydz=0]，

则[I=∑x2dydz+zdxdy+ydzdx=∑zdxdy+ydzdx]。

作[∑1∶z=0（x2+y2≤4）]取下侧，

则[∑+∑1zdxdy+ydzdx=2Ωdv=643π]，又[∑1zdxdy+ydzdx=0]，所以[I=643π]。

例2.求[I=∑xdydz+z2dxdyx2+y2+z2]，其中[∑∶x2+y2+z2=R2]内侧。

解：[I=∑xdydz+z2dxdyx2+y2+z2=1R∑xdydz+z2dxdy]，

由于[∑∶x2+y2+z2=R2]关于xoy平面对称，[z2]是关于z的偶函数，所以[∑z2dxdy=0]，

则[I=∑xdydz+z2dxdyx2+y2+z2=1R∑xdydz+z2dxdy=1R∑xdydz]。

由轮换称有：[∑xdydz=∑ydzdx=∑zdxdy]，于是：

[I=1R∑xdydz=13R∑xdydz+∑ydzdx+∑zdxdy=-13RΩ3dxdydz=-43πR2]

注意：在計算第二类曲面积分时，利用对称性可以大大简化计算，但是一定要注意使用的条件。

参考文献：

[1]张冬燕，刘倩.再探第二类曲线积分和曲面积分的对称性[J].信息工程大学学报，2016（6）.

[2]李正元，李永乐.2014年考研数学——复习全书[M].北京，中国政法大学出版，2013.

[3]同济大学数学系编.高等数学（第七版下册）[M].北京，高等教育出版社.endprint