邱洋青

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

广义变分不等式组和非扩张映射对的Wiener-Hopf方程技巧

邱洋青

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

将含松弛共强制映射的广义变分不等式组和非扩张映射对转化为广义非线性Wiener-Hopf方程组,构造新的迭代算法,证明广义变分不等式组解集和非扩张映射对积集公共解的存在性及迭代序列的强收敛性。

Wiener-Hopf方程技巧;松弛共强制映射;迭代算法;非扩张映射

0 引言

将变分不等式转化为算子方程,最终化为不动点问题,是求解变分不等式普遍使用的方法,其中之一是将变分不等式转化为Wiener-Hopf方程[1-9]。设H是实Hilbert空间,C⊂H为非空闭凸子集,C(H)是H中所有非空紧子集的全体,Ai:C×C→H是非线性映射,Bi:H×H → C(H)是集值映射,i=1,2。寻找(x,y)∈C×C,w1∈B1(x,y),w2∈B2(x,y),使得

式(1)称为广义变分不等式组,它的解记为SVI(C,Ai,Bi)。又设S1,S2:C→C是2个非扩张映射,它们的不动点集的积集记为F(S1)×F(S2)。设SVI(C,Ai,Bi)∩(F(S1)×F(S2))非空,本文将Wiener-Hopf方程技巧用于求解广义拟变分不等式组解集和非扩张映射对不动点积集的公共解问题,是文献[1-9]中主要结果的整合、改进和推广。

若A1=A2=A,B1=B2=B,则式(1)化为:找x∈C,w∈B(x)使得

它是由Noor[1]引进并研究的。

1 预备知识

定义1[5,10]设X是自反Banach空间,T :X →X∗是单值映射,如果存在2个常数α,β＞0,使得

其中D(T)表示T的定义域,G(T)表示T的图,则称T为(α,β)-松弛共强制的。

引理1[11]设H是Hilbert空间,C是H的非空闭凸子集,PC表示H到C上的投影算子,给定点z∈H,则∀x∈C满足不等式

当且仅当

引理2[11]由引理1定义的投影算子PC:H→C是非扩张的,即

‖PC(u)-PC(v)‖ ≤ ‖u-v‖, ∀u,v ∈ H

引理3 (x,y,w1,w2)是式(1)的解当且仅当(x,y,w1,w2)满足

式中:(x,y)∈C×C,w1∈B1(x,y),w2∈B2(x,y),PC是H 到C上的投影算子;ρ1,ρ2＞0是常数。

证明 由引理1即得。

2 Wiener-Hopf方程技巧及迭代算法

建立Wiener-Hopf方程。……