王佳珍

摘 要 本文针对初中学生解决函数“动点问题”的困难原因及对策予以分析，结合现在数学教学发展的现状，从相关理念介绍、“动点问题”需求、“动点问题”教学等方案进行深入研究与探索，目的在于能更好的推动函数“动点问题”教学的发展与进步。

关键词 初中学生；函数知识；“动点问题”；解决措施

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）16-0208-05

初中生需要解决的动点问题不仅是初中数学中某一章节的内容，也是初中学习期间所有数学知识的集成与结合，并在考试中占有较大的分数比重。也正是在其综合特性影响下致使学生在解答“动点问题”期间经常感到无从下手，在实际教学期间也缺少针对性教学方法与模式的教学内容。所以，在对“动点问题”教学期间，应对学生解答问题时具有的难点与其形成原因进行深入分析，结合学习需求制定完善的教学方法。在提高数学教师教学效率的同时，也可促进学生成绩的提高，在一定程度上对提高学生问题解决与分析能力也有着极为重要的作用。

一、相关理念介绍

（一）解题困难

所谓解题困难主要为初中生在对数学问题解答期间出现的停顿现象，不能继续对问题进行解答。同时这种问题地主要特点通常为教师在对问题讲解期间，许多学生都可较好地了解，但再次出现这一类问题时，许多学生仍然不会对其进行解答，尤其是同种问题的条件与类型等在发生改变时，学生则不能较好地捋顺解题思路。其中原因有两方面：一方面为教学，而教学又可分为备课、课堂教学以及课后辅导三种形式组成。备课主要是核心教学材料，若教师在备课期间不能对各种类别以及学生进行科学备课，则易导致学生在课堂中因缺乏趣味性而降低其学习积极性。课堂教学期间不能良好地激发学生学习兴趣，各种课程结构较为单一，对学生知识结构的形成较为轻视，通常是以上课为目的进行教学，不能在整体上控制对数学各知识间的关联与渗透。课后辅导教学也缺乏合理性，不能在第一时间对一些学生没有掌握的知识进行强化，同时一些教师对于课后辅导教学的重视程度也相对较弱。另一方面为学情，可将学生的学习分为厌恶与喜欢两种，同时这两种学生都有着解题困难现象，其形成的主要原因通常为数学基础知识掌握相对较弱以及把各知识间的内在关系联系起来。

（二）“动点问题”

相关专业研究人员通过初中教学实践以及各方面数据信息的收集，通常将“动点问题”归纳为：问题题目中具有一个以及多个动点，其主要在折线、直线以及抛物线上等进行匀速运行的，需要对掌握数学知识进行灵活运行的开放性问题。

（三）解决函数“动点问题”困难

由于对数学基础知识掌握质量较弱、阅读理解能力较为缺失、数学知识综合运用水平较差、对“动点问题”产生的心理阴影与恐惧以及实际数学教学效率较弱等因素，导致一些初中生不能较好地对“动点问题”进行解答，这就是解决函数“动点问题”困难的主要含义。

二、对于函数“动点问题”困难原因的分析

（一）调查研究目的

在实际研究调查期间，主要对问卷检测方法进行使用，其中对县级、市级以及农村地区各层次学生对于初中数学函数知识掌握情况进行了解与掌握，其主要目的在于真正发现基础函数知识对于动点问题产生的各种影响。

（二）调查目标

在本次调查期间，参与口语报告检测的学生共有45名，其中学习质量相对较好、学习质量中等、学困生各15名。

（三）調查题目

在选择调查题目过程中，所有数学研究组教师结合实际需求与状况，并在不断调整。经过修改、斟酌，具有了较强的信度与效度。其中共设27道题，由选择、填空以及简答三类题型组成，对一次函数、二次函数以及反比例函数知识有着较为全面的考核，其中检测时间为60分钟。

（四）调查流程

对于参加检测的15名学生均在同一时间进行实验检测。其中检测主要分为三次，其中检测检地点主要结合实际情况在三所学校中完成。

（五）教师因素

通过上述科学调查的数据信息可发现，教师在学生解决函数动点问题期间通常具有七方面问题：其一，在课堂教学前虽然教师有着相应的备课，但其准备效率较为缺失，只是以题为核心分析问题。其二，受客观因素影响，教师甚少使用多媒体对动点问题进行教学。其三，在教学期间虽给予学生相应的基础知识复习时间，但对于函数动点问题缺乏较为完善与具体的教学方案。其四，函数动点问题讲解期间，没有结合实际需求运用完善的教学模式，没有较好地提高学生解决函数动点问题的积极性。其五，在函数动点问题讲解期间，许多教师通过对讲授教学方法进行使用，没有充分符合新课改相关需求，缺少高效的数学教学模式。其六，为了让学生更好地了解函数动点问题含义，教师通常会让学生多次阅读问题，致使缺少较为固定的模式以及可行性方法对这种问题进行解决。其七，对于学生做过的动点问题教师缺乏相应的重视程度。

（六）学生因素

从学生学情分析，产生困难原因通常为三方面：首先，对题意的理解程度有着较大的差异。学习质量较好的学生可在短时间内对题意进行了解，同时可较为快速地对题干中具有重要意义的已知条件在图像中进行标注。中等学生虽也可较好地了解题意，但理解时间相对较长，由于一些中等生对题意缺乏深刻的理解，对动点问题就会产生吃力感。学习质量较差的学生则不能较好地理解及对问题进行解决。其次，对函数关系式的建立有着较大的不同。一些学习质量相对较高学生可对问题中给予的已知量快速明确需要的函数知识，抓住问题的入手点并对其进行解决。中等学生在建立函数关系式时，常需在图中寻找相应的关系，这并不是对函数动点问题的好的解决方法，若不能较好地发现问题中存在怎样的函数关系，则会使学生逐渐失去相应的解题思路与自信心。学习质量较差学生在理解题意的同时会做，但解答质量与效率相对较差，一些学生甚至不能充分理解题意。最后，解答函数最值问题期间缺少较为良好的思路。学习质量较高学生在对最值问题解答期间，通常根据式子以及图形对问题进行解答，中等生通常通过明确图像上的点与特殊点位置等对函数最值进行明确，其中问题不能得到相应的解答，使用代数方法对函数最值进行求解较为简单，也证明了中等生缺少相应的解题思路与解题方法。学习较弱学生则对函数最值计算有较大困难。

三、函数“动点问题”教学对学生的需求

初中函数动点问题往往是将整个初中数学的所有函数知识，与动点问题进行融合，主要对学生的综合素质进行检测与考察，通常为学生综合使用数学知识解决问题能力、阅读理解水平、数学思维的形成状况等，想要较好地对函数“动点问题”进行解决具有较强的难度，在解题期间学生经常遇到较多的困难与阻碍，以其解题困难因素为基础，结合实际教学需求与学生解题情况，可明确相应的需求：

（一）函数动点问题分类

在实际调查分析研究期间可以发现，各区域与各层次调查学生具有的困难具有较大差距，在遇到问题时学生不知道使用怎样的方法与思路对问题进行分析与思考，若根据实际需求对动点问题进行分类与总结，可使学生在问题解答期间具有较为良好的思路。其中函数动点问题可分为三种类型分别为：与反比例函数结合、与一次函数结合以及与二次函数结合，其中与各种函数知识进行结合都可在题干与图中发现相应的信息。同时，也需要学生对函数的表达式、图形以及性质等具有较为良好的了解与掌握。

（二）将图中信息标注于图上

在这一环节过程中，需要学生较为快速对各种数据信息进行分析与处理，尤其是较为浅显的信息应在图上进行快速标记，还有一些信息则需要学生通过题干中的未知量以及相应的坐标信息等对线段的长度距离进行表示，还需要学生较好地对距离与坐标之间的内在联系有着良好的掌握。

（三）寻找变量与不变量，用变量引起变量

在明确问题中的变量与不变量后，还应主要使用未知量对图中线段进行表示，同时还可对利用已知形成的结论与可使用的数学知识形成良好的知识链。如与线段平行知识具有联系时，不仅可较好地了解内错角、同位角以及同旁内角互补等信息，还能较好地明确平行线分线段成比例，相似三角形等信息，因此我们应重视知识之间的关联。

（四）运用已学知识建立函数关系式

在解答问题时，列出正确的函数关系式尤其重要。同时学生可能使用的数学知识通常为几何图形面积公式、勾股定理以及相似三角形等，应在实际问题解答期间结合各种数学知识背景对问题进行解答。如用勾股定理对函数表达式进行求解时，图中一定存在直角三角形或通过添辅助线，可以形成直角三角形。在使用相似三角形知识时，问题中通常具有平行线段以及角度相同的角。通常情况下很少直接有利用图形面积公式对函数关系式进行明确，通常需要结合实际需求进行相应的割补。

四、“动点问题”的教学对老师的需求

（一）教师应强化学生基础知识掌握情况

在实际调查与初中数学基础知识检测过程中，学生对于函数动点问题解决困难的主要原因通常为学生数学基础掌握情况相对较弱。数学基础的掌握情况对其问题解决，解题思路的形成具有极为直接的影响，尤其是在对动点问题解答期间，学生对于初中数学教学中各函数知识掌握质量相对较弱时，则会导致其解答函数动点问题过程中极为迷茫，没有清晰的解题思路。对函数进行分析与研究期间通常有着相应的规律，初中期间所有的函数知识都是利用问题的情境与氛围让学生对于函数表达式的形式进行了解与掌握，在利用表达式进行相应的列表与描点，并以此为基础了解函数图像，然后再对函数图像性质进行研究，结合实际需求将其逐渐提升到实际运用层面，也就是函数知识的实际运行。了解图像中点的坐标与函数表达式间的联系，充分了解图像上点的坐标满足的函数关系式，即符合函数关系式的点在函数图中。学生对于初中阶段函数基础知识、理论、定义以及实际推导流程等应充分了解与掌握。教师在对学生进行日常训练期间应使其可举一反三，科学使用知识点，才可进一步强化知识掌握情况。

（二）学生应消除对动点问题的恐惧

通常情况下函数动点问题题目较长，题意也较为复杂，使学生逐渐形成相应的恐惧感。也就是学生在刚刚面对函数动点问题时，在心理上对自身进行了相应的否定。在长时间的影响下每当其遇到函数动点问题时，心理上会认为这一类问题难度相对较高，自己不能对其进行解决。针对学生的这种现状，教师应在学生刚刚接触到动点问题期间，结合实际教学需求与学生知识掌握情况制定完善的教学计划，实施专题训练，从低到高、从浅至深对各种问题类型进行总结，对合理的教学模式进行运用，培養学生函数动点问题解题积极性的形成，并在其问题解答期间形成相应的征服感。

（三）强化学生阅读能力与信息处理能力

在中等生与学困生中，对于阅读能力与信息处理能力的强化与提升有着较为重要的作用。在对数据信息处理期间，初中数学教师应让学生结合实际需求将函数动点问题中所有的已知条件在函数图像中进行标注，避免反复阅读对时间的浪费。在函数图像上对所有问题提供的已知条件标注后，再根据自身对数学知识的了解将所有题目中隐藏的数据信息进行深入的挖掘与研究，同时对各已知条件可推导至的结论应在脑海中形成相应的印象。例如：在某一函数动点问题中“过点A作BC//DF交于Y点”这句话的重中之重是“平行（//）”一词，在于平行知识具有关联时，学生可自主联想到已学知识以及相关知识的联系，其中分线段成比例也较为重要，在对其解决过程中主要运用的知识点通常为“三角形对应高的比与相似比相同”。在培养与提高学生阅读能力期间，结合认知心理学相关理论进行分析。学生在问题阅读期间也属于一种构建活动，也就是在文字输入期间不断进行加工处理，并在题意图式活动的作用下，创建出较为完善的数学思维逻辑表象。

（四）对解题思路与方法进行指引

各地区的各层次学生在客观因素作用下，致使其对于函数动点问题都缺少完善的解题思路与解题方法，这也在一定程度上需要教师在日常数学教学期间对学生的解题思路与方法进行指引与总结，使学生了解在函数动点问题中哪些词语有着较为重要的作用。在遇到这种类型问题期间，学生会通过自身掌握的数学知识自动对函数动点问题进行分类与归纳，再根据问题类型选择较为完善的解题方法与思路，这时可使函数动点问题较为简单。

（五）归纳动点问题类型与细化

在初中数学中，函数动点问题可分为以下几种：动点与一次函数结合、与二次函数结合以及与反比例函数结合。其中动点与二次函数结合问题出现几率会相对较大，难度也相对高出很多。其问题通常为：其一，对函数解析式的建立计算存在问题。其二，计算最值缺乏准确性。同时最值问题主要是对之前函数解析式明确后才明确的，其中也可表示为几何最值问题。其三，对相应问题的计算易产生错误。各种问题的提出都有着相应的种类，教师在数学教学期间应对其进行充分的总结与归纳。

（六）对完成问题进行处理

由于对完成的问题缺乏处理，致使在学生对于做过的问题没有较深的印象。由于动点问题背景复杂性较强，学生对问题背景的差异过于重视，但对于完成的问题包含的解题技巧与类型应进行分类处理却极为轻视。因此需教师对规律与方法进行指导总结，以提升学生解题能力。

五、一次函数动点问题解题对策

在初中数学教学期间共有着三种函数种类，其中一次函数通常是学生最早了解的函数知识，学生对其的印象也较为深刻，其所蕴含的函数性质也极为简单。对于一次函数的这一特征，在其与动点问题成分结合期间通常具有较长的题目与数量较多的动点，在提出问题情况下还需要对分析讨论方法进行使用，通过其主要特征制造相应的难点。因此对于此类问题提出以下三方面建议：

（一）消除学生恐惧心理

学生在对问题进行解答期间，通常在遇到较为复杂题目时形成较强的恐惧心理，即便通过阅读后可较好对问题进行解决，却不能较好地了解题意。因此在对一次函数与动点结合问题进行解答期间，教师应结合实际教学情况让学生先充满信心地对该问题进行阅读，使学生形成较为良好的心理暗示，若动点问题仅与一次函数具有联系、题目较为复杂、问题较为简单时，学生在读懂问题时就可顺利地解决。

（二）背景图形分析

所谓背景图形主要是函数动点问题中没有之前的各种图形，通常情况下为一次函数形成的相应几何图形，学生应较好地了解各种几何图形的实际性质，例如：三角函數、图形的边、角以及面积等信息。

（三）了解点的运行流程

在对这一类型问题解决前学生应充分了解问题中有几个运动的点，这有着较为重要的作用。其中在学生明确问题中实际运行点时有三个重要要素，其分别为：起点、运动速度中终点；转折点；目标。函数动点问题的明显特征通常为已知的速度，重点的考察目标是运动流程，将函数的信息以及坐标转变为背景图形数据信息。动点在移动到顶点位置时，转折点就属于分类探讨的主要环节，学生在对这类动点问题进行解答期间，应主要对分类思想方法进行使用。与此同时，目标在解决这种问题时也有着较为重要的作用。结合目标列出相应的式子，可为创建出需要的函数关系式创建良好条件。

六、反比例函数动点问题解题对策

由于反比例函数动点问题与其它动点问题相比出现次数相对较少，题目难度亦相对较低。这一种类动点问题的主要目的是让学生较好地了解点的运行流程，分类讨论现象通常不会出现，只有一个未知量，对于其函数关系式的计算也较为简单，因此初中数学教师在日常教学期间应主要培养与提高学生对这一类型函数动点问题的解决信心。

七、二次函数动点问题解题对策

动点问题与二次函数相结合在各届中考与日常测试中出现的几率相对较大，为了更好地对这种类型动点问题进行解决，不仅要充分了解题意、掌握点的运行流程，还应提高对初中知识之外的相关联系。例如：图1，在正方形ABCD中，A，B的坐标（0，10）、（8，4），定点C、D在第一象限，P从A出发，随着正方形按逆时针方向进行运行，其中点Q从E（4，0）出发，沿着x轴正方向进行同速运动，在P达到C时，PQ停止运动，（1）设运行时间为T，计算ABCD的边长；（2）当P在AB边运动时，三角形OPQ面积为S与T之间的关系为图2，求P与Q的运动速度。

在对于这一类型问题进行解析期间主要具有三方面的建议：

（一）提高知识间联系的重视程度

学生在对二次函数与动点结合问题进行解答期间，充分了解题意与掌握点的运行流程虽然具有较强的作用，但建立二次函数关系式还需要了解并掌握式子中存在的关系，其也通常是最终需要获取的函数关系式。学生在列式期间，各数学知识点之间存在的联系有着较为重要的意义。提供的每个关系式可推导出哪些理论，各种已知条件与哪些数学知识具有密切的联系，应使用哪些数学知识等在日常数学教学中应结合实际情况。对学生进行相应知识的渗透，使他们逐渐形成数学思维定式，使学生更好地理解函数动点问题题意。

（二）总结添辅助线的方法与规律

添辅助线对于问题解决较为重要，甚至在一定程度上还起着点睛之笔的作用。因此学生为了更好地对函数动点问题进行解决，应较好地掌握辅助线添加的方法与规律，通常情况下，辅助线的添加方法与规律主要为：其一，等腰三角形。作一边上的高以及做底边的高；其二，梯形。过上边某一定点作底边垂直线，将两条斜边进行延伸形成三角形；其三，菱形。将对角线进行连接；其四，平行四边形。做对角线，作高以及垂直与平行边；其五，在有中点时作中位线，在有中线时应将其延伸一倍。

（三）提高问题间联系的重视程度

通常情况下，计算函数关系式、具有的问题以及计算最值等问题间都有着较为密切的关联。同时，二次函数自身有着本身的特殊性质，具有最小值与最大值，因此经常与最值问题进行融合，学生直接使用函数关系式进行计算可较好地降低问题的解题难度。

总而言之，对于初中数学教学期间具有的三种函数动点问题进行解答期间，了解题意是主要基础，掌握三要素是较为重要的辅助依据，接着再结合学生对于数学知识的不断积累与各种知识之间的联系性对问题进行解答，真正落实各解题流程才会更好地降低函数动点问题解决难度与复杂性。

八、函数动点问题实例分析

如图3，直线y=-（3/4）x+6与坐标轴分别相交于A、B两点。其中P、Q为动点从O点出发，共同抵达A点，并停止运动。点Q沿线段OA移动，速度为每秒1单位长度，P沿O-B-A线路移动其速度与Q相同。求（1），点A与B的坐标，（2）若Q运行时间为t，OPQ面积为S，求S与t之间的函数关系式及t的范围。（3）在S=（48/5）时，求P点坐标，并直接写出以点OPQ为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。

在对这一问题进行讲解期间，教师可主要根据以下流程进行教学：

（一）利用旧知识引入新知识

教师可结合上述问题与实际教学情况向学生提出：“三角形与直角坐标系具有哪些特殊的性质与特征？”等问题。其中教师的主要活动为结合实际问题提出科学的疑问，并让中等生对相应的问题进行解答。学生对问题进行回答期间若不完整，教师则应进行相应的补充与说明。其主要目的是让学生利用对以往数学知识的复习，使学生在解答这一函数动点问题期间可更好地想起以往学习的数学知识，并为其解题创造良好的条件。

（二）自主学习

教师结合函数动点问题提出该图中共有几个动点？学生在回答两个动点后教师再次提问：动点引发的变量有哪些，不变量有哪些？并将对应线段的长进行表示。这时学生可较好地明确，该问题的变量主要为OQ、QA、OP以及PB线段的长度，不变量为∠BOA的大小、△AOB各角的角度以及△AOB实际面积等。其主要作用是让学生自主完成两个以及两个以上的问题，使学生进行自主学习，并让学生更好地对问题中的各种数据信息进行分析与处理，为了解函数问题中变量与不变量创建条件。

（三）仔细观察发现问题

学生通过科学的观察与分析更好地对点在运行期间的特征进行了解与掌握，进一步发现函数动点问题中存在的隐藏信息。同时教师应对多媒体教学方法进行运用，结合问题播放相应的动画，对学生问题的回答进行补充并提出较为重要的关键性信息，其中还可结合实际教学情况对学生进行相应的鼓励。其主要目的是对几何画板进行使用，较好地显示出点的运动流程，让学生直观了解其运行流程与运行期间的重中之重。同时许多学生可较好地通过图像发现相应的条件与信息。另一方面，利用对图像进行直接观察还可在一定程度上促进学生学习的积极性。

（四）小组分析与合作交流

教师让学生以“通过图像可发现怎样的信息？”为条件进行科学的观察，较好地发现（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类，这时教师可结合实际教学情况对中等生进行相应的教育与引导。接着教师还可让学生对相应的抑制条件进行寻找。学生通过对图形的分析与研究可充分发现：最后一问属于分类讨论。其中，已知定点为P、Q、O，探究第四点构成平行四边形时，按已知线段身份不同进行分类：其一，OP、OQ为边；其二，OP为边、OQ为对角线；其三，OQ为边，OP为对角线等。以此为根据画出相应的图形，再根据图形的相关性质对顶点坐标进行明确。这时教师再引导学生掌握解决这一问题的主要条件。学生可结合相应的基础知识列S与t之间的函数关系式：在0

（五）寻找规律与总结方法

首先，应在各种联系过程中不断对变量与不变量之间存在的关系进行了解与分析。其次，结合最终需要的函数关系式列出該函数表达式，不能对两者之间具有怎样的关系进行凭空想象。最后，对于函数动点问题具有的问题若呈现出较为明显的递进关系时，学生则可结合问题第一问的答案对下一问题进行解决，不能仅根据自身的想象对问题进行解答。同时在课后还应让学生们进行深入锻炼，结合实际教学情况布置相应的作业。

九、评估与反思

在上述的研究与分析期间我们可以较好地发现，在数学教学过程中，最为重要的目的就是希望学生利用自身掌握的函数知识在图形中充分了解与明确函数的实际模型，同时再以此为基础对提出的问题进行科学地解决。其中这次实际教学在一定程度上明确了相应的教学流程模式，可分为六个教学环节：

其一，对以往学习的数学知识进行复习，并为新知识的引入创建良好的条件。在这一教学环节中，主要的教学目的是为了让学生对与该函数动点问题有所联系的数学基础知识点进行了解与掌握。

其二，让学生进行自主学习。在这一教学环节中其教学意义通常是让学生较好地对函数动点问题中的信息进行科学处理，并在图形上对具有较强价值的已知条件进行标注，明确问题中具有的变量与不变量，变量可导致哪些量的改变，可使用未知量对线段的长进行科学地表示。

其三，通过细心观察发现相应的问题。利用多媒体等使学生在直观的观察下发现相应的问题，其中最值以及点的运动流程都可在图中发现与掌握，同时对于分类讨论情况的研究与探索有着较为有利的帮助。

其四，小组沟通与合作分析。在学习小组研究、分析以及合作交流过程中，可更好地对函数动点问题深层次信息进行发掘，在题干给予的各种已知条件推导出相应结论，在条件与问题间建立联系。

其五，利用变式训练提升与巩固数学基础知识。在变式训练期间使学生在已经完成的函数动点问题中不断积累丰富的解题经验。

其六，寻规律总结方法。在这一教学环节中教师有着重要的地位与作用，对函数动点问题中包含的所有数学知识点、解题方法以及类型的归纳等进行科学的总结。其中还应每日解答一道相应的问题，不断进行拓展与延伸。在每日解答一题期间所选的函数动点问题应与课堂教学期间教师讲解函数动点问题的结构相一致，增强学生的兴趣与解答问题的信心。

十、结语

综上所述，在初中学生解决函数“动点问题”期间，由于受到教师与学生等客观因素影响，致使其解题困难性相对较强。因此教师可结合实际情况通过利用旧知识引入新知识、自主学习以及仔细观察发现问题等方法提高学生函数动点问题解题能力，并在一定程度上为学生的发展创建良好的条件。

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