太原市第三实验中学,山西太原030031 董立伟

对一个不等式的推广及加强

太原市第三实验中学,山西太原030031 董立伟

文[1]刊登了2175号问题的解答.原题如下：

设x,y,z＞0,求证：

该不等式不等号左右两侧相对应的各项均互为倒数,使得式子的形式整齐优美.原解答采用了初等的作差法,解答对求和顺序作了精心的调整,简洁巧妙.但是,配凑平方对变量的个数及指数有较强的的依赖性,这使得对问题的深入研究变得困难.本文给出了该问题的一个另证,并从证明出发,对问题作了推广与加强.

一、问题的另证

证明 由基本不等式,可得

问题得证.

由Cauchy不等式,

问题得证.

证明中我们惊喜地得到了一个加强的结果：

上述证明方法还可用来巧证问题1772.[2]原问题如下：

已知x,y,z∈R+,证明：

证明 观察左右两侧,由对称性,只需证明

二、问题的推广

罗增儒教授认为,一题多解的一大教学功能是,从多角度审视问题,有助于接近问题的深层结构.[3]

上述证明过程所用到的只有两个最基本的不等式—均值不等式和Cauchy不等式.相比于原解答,基本不等式与Cauchy不等式的成立不依赖于变量的个数.当变量个数增多时,无非是多并列几项.这使得对原不等式的推广成为可能．

推广1个数推广

对xi＞0,i=1,2,...,n,求证：

证明 先对不等式左边的各项进行变形.第一项变形如

下：

同理可得其余n-1个式子,

将上述n个式子相加可得

由上式的对称性,要证明原不等式,只需再证明

即可.即证

由Cauchy不等式,

可以看到,上述证明中均值不等……