福建省德化第一中学362500 吴志鹏

评析几种方案生成的离心率问题*

福建省德化第一中学362500 吴志鹏

离心率是圆锥曲线的一个重要元素,它的变化直接导致曲线形状甚至是类型的变化,求圆锥曲线的离心率或取值范围是近年高考的热点,这类问题所涉及的知识点较多、综合性强,解法灵活,极富内涵,这也是命题者亲睐的原因所在.对于这类问题的求解,学生怎样才能做到“以不变应万变”呢?本文从离心率问题的生成方法入手,帮助读者分析研究,以便寻找有效的方案解决之.

一、“代数方案”生成的离心率问题

这类问题利用了椭圆、双曲线方程标准形式中的参数,应用代数方案计算出有关参数的值或范围,进而获得离心率的值或范围.

例1(2008高考全国卷2理9)设a＞1,则双曲线的离心率e的取值范围是( )

图1

(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);

(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

解 (I)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得故因此

(II)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2＞0,k1/=k2.由(1)知：

由于k1,k2＞0,k1/=k2得

即转化为关于k1,k2方程有解的充要条件：1+a2(a2-2)＞1又因为a＞1,所以因此若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,由得离心率的取值范围

解 I由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解,消去y并整理得

评析 以上三个例题均是通过代数方案生成的离心率问……