广东省佛山市第一中学(528000) 吴统胜

清华大学自动化系(100084) 李家昊(学生)

题海无涯,感悟是岸!—由一道高考压轴题谈函数型不等式解法的优化、推广与再应用

广东省佛山市第一中学(528000) 吴统胜

清华大学自动化系(100084) 李家昊(学生)

笔者在贵刊2017年第6期(上半月)刊出的“例谈妙用函数型不等式巧解导数压轴题”一文,在文末方法优化再拓展中提及了将y=ex,y=lnx(x＞0),y=xlnx(x＞0)放缩为一次函数形式的三个放缩的“一般式”,但因篇幅所限,当时未展开举例说明其应用.现本文将从一道函数型不等式高考压轴题的不同解法出发,对解法进行了较深入的探究、优化、拓展推广、原创了该类函数型不等式压轴题的一般化、“套路化”的解法,并对该原创解法进行了举例应用.

一、问题提出

例1(2013年课标II理科21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明：f(x)＞0.

解析 (1)略;(2)当m≤2时,f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).

证法一(构造函数法)构造函数φ(x)=ex-ln(x+2),转化为求φ(x)min=φ(x0)＞0.

设φ(x)=ex-ln(x+2),则在 (-2,+∞)上单调递增.又φ′(-1)＜0,φ′(0)＞0,所以φ(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根,且x0∈(-1,0).

当x∈(-2,x0)时,φ′(x)＜0;当x∈(x0,+∞)时,φ′(x)＞0,所以φ(x)min=φ(x0).由φ′(x0)=0得

证法二 (利用“公切线”法,转化为证明ex≥kx+b≥ln(x+2).)设φ(x)=ex,h(x)=ln(x+2)的的公切线为y=kx+b(k/=0).设两切点分别为M(m,em),N(n,ln(n+2)),利用切线斜率相等得

当n=-1时,所以M(0,1),N(-1,0),对应公切线为y=x+1.

(当n=e-2时,所以对应公切线为

我们不妨取公切线为y=x+1.利用构造函数法易证：

但两不等式不同时取等号,所以ex＞ln(x+2).所以当

证法三 利用常见函数型不等式ex≥1+x或ln(x+1)≤x,(x＞-1)(见人教版教材《选修2-2》P32题1.3B组第1题).

因为lnx≤x-1(x＞0),所以ln(x+2)≤x+1(x＞-2)当且仅当x=-1时取等号.又因为ex≥x+1当且仅当x=0时取等号.所以当m≤2时,f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)＞x+1-(x+1)=0.所以f(x)＞0.因为两等号不同时取,所以当m≤2时,f(x)＞0.

点评 证法一转化为……